Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.8. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IN DER PHYSIK 271
Abbildung 7.17: Schwingungen im
Wechselstromkreis: harmonische
(links), gedämpfte (Mitte) und
erzwungene Schwingung (rechts)
Strom i = ˙q = C ˙u fließt. Dieser erzeugt in der Spule (Induktivität L) ein magnetisches Feld:
die ursprünglich auf dem Kondensator aufgebrachte elektrische Energie wird in magnetische
Energie umgewandelt, so wie beim Federpendel potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt
wird. Hat sich der Kondensator entladen, so fließt kein Strom und das Magnetfeld
der Spule baut sich über einen Strom in entgegen gesetzter Richtung ab. Dieser Strom transportiert
Ladungen auf den Kondensator, allerdings jetzt mit umgekehrtem Vorzeichen. Zur
Beschreibung dieser Schwingung können wir die Änderung der Ladung auf dem Kondensator
betrachten, d.h. die gesuchte Größe ist q(t).
§ 1020 Die Differentialgleichung lässt sich aus dem Kirchhoff’schen Gesetz herleiten. Spule
und Kondensator bilden eine Masche und die Spannung muss beim Umlauf um die Masche
verschwinden, d.h. die Summe aus Spannungsabfall u C über dem Kondensator und u L über
der Spule verschwindet: u C + u L = 0. An der Spule gilt u = L˙i, am Kondensator q = Cu
(vgl. Abschn. 6.3.4).
q
C + L˙i = 0 .
Der Strom durch Spule und Kondensator muss gleich sein, da es keine Verzweigungen in
dieser Masche gibt. Dann gilt auch i = C ˙u = ˙q. Die sich ergebende Differentialgleichung
¨q + 1
LC q = 0 oder ¨q + ω2 0q = 0 mit ω 2 0 = 1
LC
beschreibt eine ungedämpfte Schwingung mit der Frequenz ω 0 = √ 1/(LC). Sie hat die
Lösung
q(t) = a sin(ω 0 t) + b cos(ω 0 t)
mit den reellen Integrationskonstanten a und b. Für eine spezielle Lösung sind diese aus den
Anfangsbedingungen zu bestimmen.
Zwischenrechnung 40 Lösen Sie die DGL noch einmal selbständig (und ohne Rückblättern)
und geben Sie die spezielle Lösung für die speziellen Anfangsbedingungen (welche wären das?)
sowie für allgemeine Anfangsbedingungen.
§ 1021 Fügen wir einen Ohm’schen Widerstand R in diesem LC-Kreis ein, wie im mittleren
Teilbild in Abb. 7.17, so wird in diesem elektrische Energie in Wärme umgesetzt: immer
wenn durch einen Strom die in der Spule gespeicherte Energie des Magnetfeldes in die im
Kondensator gespeicherte elektrische Energie umgewandelt wird (und umgekehrt), geht der
Schwingung ein Teil der Energie im Widerstand durch Umwandlung in Wärme verloren,
die Schwingung wird gedämpft. Eine entsprechende Situation bewirkt die Reibung beim
Federpendel: hier wird kinetische Energie in Wärme umgesetzt und ebenfalls der Schwingung
entzogen. Der Widerstand erzeugt einen Zusatzterm in der DGL. Da am Widerstand u = Ri
gilt, lässt sich dieser Zusatzterm wegen i = ˙q auch schreiben als R ˙q und wir erhalten für die
Spannungsbilanz
q
+ R ˙q + L¨q = 0
C
und damit für die DGL der gedämpften Schwingung
¨q + R L ˙q + 1
LC q = 0 oder ¨q + 2γq + ω2 0q = 0 mit 2γ = R L , ω2 0 = 1
LC .
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007