Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

344 KAPITEL 8. MATRIZEN
Abbildung 8.5: Radiaktiver Zerfall:
Mutterisotop N 1 , Tochterisotop N 2
und stabiles Endprodukt N 3
Abbildung 8.6:
Federpendel
Gekoppelte
Die Integrationskonstanten c i sind, wie bei einer einzelnen Differentialgleichung, aus den
Randbedingungen zu bestimmen und wir erhalten die Lösung des Systems gekoppelter Differentialgleichungen
(8.32) zu
N 1 (t) = N 1,0 e −3t ,
N 2 (t) = 3 2 N 1,0 (e −3t − e −5t ) ,
N 3 (t) = N 1,0 (1 + 3 2 e−5t − 5 2 e−3t ) .
Die Lösung ist in Abb. 8.5 dargestellt. Wie zu erwarten, folgt die Entwicklung von N 1 dem
Zerfallsgesetz und wird durch eine abfallende Exponentialfunktion beschrieben: der Zerfall
dieser Kerne ist nicht davon beeinflusst, ob die Zerfallsprodukte weiter zerfallen oder nicht.
N 3 wächst monoton und nähert sich asymptotisch dem Grenzwert N 1,0 : dann sind alle Kerne
von N 1 über den Zwischenschritt N 2 zu N 3 zerfallen. N 2 wächst so lange an, bis der Zerfall
von N 2 die Produktion von N 2 durch den Zerfall von N 1 überwiegt. Dann beginnt diese
Funktion abzufallen und sich asymptotisch der Null zu nähern.
Zwischenrechnung 55 Die gekoppelten Differentialgleichungen wurden für vorgegebenen
Zerfallskonstanten gelöst. Geben Sie die allgemeine Lösung für beliebige λ i .
Gekoppelte Pendel
§ 1296 Zwei identische Massen m sind durch drei Federn identischer Federkonstante k mit
einander und mit den Begrenzungen verbunden (vgl. Abb. 8.6). Die Massen werden jeweils
ein Stückchen x 1 bzw. x 2 aus ihrer Ruhelage ausgelenkt. Die beiden Bewegungsgleichungen
sind mit der bereits bekannten Abkürzung ω 2 0 = k/m
ẍ 1 + ω0x 2 1 + ω0(x 2 1 − x 2 ) = ẍ 1 + ω0(2x 2 1 − x 2 ) = 0 ,
ẍ 2 + ω0x 2 2 − ω0(x 2 2 − x 1 ) = ẍ 2 + ω0(2x 2 2 − x 1 ) = 0 .
Dabei ist der zweite Term auf der linken Seite jeweils die rücktreibende Kraft, die wir auch bei
einer einzelnen Masse an einer Feder haben, der dritte Term enthält die Kopplung der beiden
harmonischen Oszillatoren durch die Feder zwischen ihnen. In Matrixschreibweise erhalten
wir für das Gleichungssystem
¨⃗x = A⃗x =
(
−2ω
2
0 ω 2 0
ω 2 0 −2ω 2 0
)
⃗x . (8.34)
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode