Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

9.3. GAMMA FUNKTION 361
Die dreidimensionale δ Funktion hat die gleichen Eigenschaften wie die eindimensionale,
insbesondere ist sie normiert:
∫
δ(⃗r − ⃗r 0 ) dV = 1 .
V
§ 1349 Das die δ Funktion definierende Integral (9.11) beinhaltet die Integration über ein
Volumenelement dV . Die Darstellung dieses Volumenelements in den verschiedenen Koordinatensystemen
beeinflusst auch die Darstellung der δ Funktionen. In kartesischen Koordinaten
ergibt sich mit dV = dx dy dz
δ(⃗r − ⃗r 0 ) = δ(x − x 0 ) δ(y − y 0 ) δ(z − z 0 ) .
§ 1350 In Kugelkoordinaten (r, ϑ, ϕ) ergibt sich mit (4.19) für das Volumenelement dV =
r 2 sin ϑ dr dϑ dϕ und damit für die Delta Funktion
1
δ(⃗r − ⃗r 0 ) =
r0 2 sin ϑ δ(r − r 0 ) δ(ϑ − ϑ 0 ) δ(ϕ − ϕ 0 ) .
0
§ 1351 In Zylinderkoordinaten ρ, ϕ, z gilt wegen (4.18) dV = ϱ dϱ dϕ dz für die δ Funktion
entsprechend
δ(⃗r − ⃗r 0 ) = 1 ρ 0
δ(ρ − ρ 0 ) δ(ϕ − ϕ 0 ) δ(z − z 0 ) .
9.3 Gamma Funktion
§ 1352 Ein weiteres Beispiel für eine über ein Integral definierte Funktion ist die Γ Funktion.
Diese verallgemeinert die Idee der Fakultät insofern, als dass sie für natürliche Zahlen die
Fakultät n! ergibt, jedoch auch für nicht ganz-zahlige Werte definiert ist:
Γ(x) =
∫ ∞
0
z x−1 e −z dz (9.12)
für x > 0. Dabei ist der Integrand eine Funktion von x und z; durch Integration über z wird
das Ergebnis eine Funktion von x. 1
§ 1353 Für x = 1 reduziert sich das Integral auf ∫ e −z dz. Diese kann direkt ausgeführt
werden:
Γ(1) =
∫ ∞
0
e −z dz = [ −e −z] ∞
0
= 0 − (−1) = 1 = 1! .
1 Für die Γ Funktion gibt es auch andere Definitionen. So die von Euler über eine unendliche Reihe
eingeführte
1 · 2 · 3 . . . n
Γ(z) = lim
n→∞ z(z + 1)(z + 2) . . . (z + n) nz
mit z ≠ 0, −1, −2 . . .. Auch hier gilt Γ(z + 1) = zΓ(z) und Γ(1) = 1. Eine andere Definition geht zurück auf
Weierstrass und verwendet einen Produktansatz
1
Γ(z) = zeγz ∞ Y
n=1
1 + z n
e − z n
mit der Euler–Mascheroni Konstante
nX
!
1
γ = lim
n→∞ m − ln n = 0.5722156 .
m=1
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007