Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.3. DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG 239
1. der Standardansatz ist eine allgemeine Version der Inhomogenität: ist sie ein Polynom
n ter Ordnung, so wird ein allgemeines Polynom n ter Ordnung angenommen.
2. Aber: enthält der Standardansatz einen Term, der bereits die homogene Gleichung erfüllt,
so ist dieser Term mit der unabhängigen Variablen zu multiplizieren. Dieser Schritt ist
so lange zu wiederholen, bis der Ansatz keine Terme mehr enthält, die die homogene
Gleichung erfüllen.
Diese letzte Einschränkung ist für DGLs erster Ordnung nicht wichtig – bei der DGL zweiter
Ordnung werden wir ihr jedoch z.B. im aperiodischen Grenzfall begegnen. Daher nimmt
die folgende Sortierung der Lösungsansätze Bezug auf die charakteristische Gleichung, kurz
chGlg, die sich beim Exponentialansatz aus der DGL ergibt. Betrachten wir dazu eine homogene
DGL n ter Ordnung:
a n x (n) + a n−1 x (n−1) + . . . + a 1 x = 0 .
Der Exponentialalansatz ẋ = e λt liefert Ableitungen der Form
ẋ = λx , ẍ = λ 2 x , . . . x (n) = λ n x .
Einsetzen in die DGL liefert als charakteristische Gleichung ein Polynom n ter Ordnung
a n λ n + a n−1 λ n−1 + . . . + λa 2 + a 1 = 0
als Bestimmungsgleichung für die Eigenwerte λ, für die der Ansatz eine Lösung der DGL
liefert.
§ 921 Beispiele für Lösungsansätze für partikuläre Lösungen sind:
• g(t) = P n (t), d.h. die Störfunktion ist ein Polynom n ten Grades. Die Lösungsansätze sind
Polynome Q n (t) mit
⎧
⎨ Q n (t) a 1 ≠ 0
x p = t Q n (t) a 2 ≠ 0, a 1 = 0 . (7.13)
⎩
t 2 Q n (t) a 1 = a 2 = 0
• g(t) = e ct , d.h. die Störfunktion ist eine Exponentialfunktion. Die Lösungsansätze sind
ebenfalls Exponentialfunktionen, die Art des Ansatzes hängt davon ab, ob c Lösung der
charakteristischen Gleichung (chGlg) ist:
⎧
⎨ A e ct c keine Lsg der chGlg
x p = At e
⎩
ct c einfache Lsg der chGlg . (7.14)
At 2 e ct c doppelte Lsg der chGlg
• g(t) = sin(βt) oder g(t) = cos(βt), d.h. die Störfunktion ist eine elementare Winkelfunktion
oder eine Linearkombination daraus. Der Lösungsansatz hängt dann davon ab, ob iβ
Lösung der charakteristischen Gleichung ist oder nicht:
{
A sin(βt) + B cos(βt) iβ keine Lsg der chGlg
x p =
. (7.15)
t[A sin(βt) + B cos(βt)] iβ Lsg der chGlg
§ 922 Betrachten wir auch hier ein Beispiel. Der homogene Teil der inhomogenen DGL
ẋ = 4t − x
ist gegeben als ẋ = −x und hat die allgemeine Lösung
x H = c e −t .
Der Ansatz für die spezielle Lösung der inhomogenen DGL soll der Inhomogenität 2t ähnlich
sein. Die Inhomogenität ist eine Summe von Potenzen und hat die Form at + b, d.h. wir
machen für die spezielle Lösung den Ansatz
x p = at + b .
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007