Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

404 KAPITEL 10. VEKTORANALYSIS
Aufgabe 231 Bestimmen Sie die Quellstärke eines homogen geladenen Zylinders mit Radius
R, der ein elektrisches Feld erzeugt
⃗E(ϱ) =
{ cϱ ⃗eϱ Innenraum mit R ≥ ϱ
cR 2 /ϱ ⃗e ϱ Außenraum mit R < ϱ .
Aufgabe 232 In einem ebenen Kraftfeld ⃗ F = (x + 2y, 0) wird die Masse von P = (1, 0)
aus auf dem Einheitskreis im Gegenuhrzeigersinn einmal herumgeführt. Welche Arbeit wird
dabei vom Kraftfeld verrichtet?
Aufgabe 233 Berechnen Sie die Arbeit des Kraftfeldes F ⃗ y
x
=
1+x 2 +y
⃗e 2 x −
1+x 2 +y
⃗e 2 y beim
Verschieben einer Masse von A = (1, 0) nach B = (−1, 0) entlang der beiden möglichen
halbkreisförmigen Wege. Warum hängt die Arbeit noch vom Weg ab?
Aufgabe 234 Welche Arbeit verrichtet das Kraftfeld ⃗ F = xy⃗e x + ⃗e y + yz⃗e z an einer Masse,
wenn diese sich längs einer Schraubenlinie ⃗r(t) = cos t⃗e x +sin t⃗e y +t⃗e z von 0 nach 2π bewegt?
Aufgabe 235 Zeigen Sie, dass das Linienintegral ∫ ⃗rd⃗r unabhängig vom Integrationsweg
ist. Wie lautet das Potential U des Feldes?
Aufgabe 236 Gegeben ist das Vektorfeld ⃗ F = (xy 2 , yx 2 ). Bestimmen Sie die Arbeit, die
zwischen den Punkten ⃗r 1 = (0, 0) und ⃗r 2 = (a, a) verrichtet wird bei Verschiebung entlang
(a) einer geraden Linie y = x, (b) einer Parabel y = x 2 /a , und (c) entlang eines Viertelkreises.
Aufgabe 237 Bestimmen Sie den Massenstrom ⃗j = ϱv⃗e z mit ϱ als der Dichte und v⃗e z als
der konstanten Geschwindigkeit durch eine Halbkugel mit Radius R, die auf der xy-Ebene
aufliegt.
Aufgabe 238 Ein Zylinderkondensator besteht aus zwei koaxialen Zylindern der Radien r 1
und r 2 mit r 1 ≤ r 2 , der Länge L mit L ≫ r i und Ladungen Q (innen) und −Q (außen).
Bestimmen Sie das elektrische Feld ⃗ E(⃗r) mit Hilfe des Gauß’schen Satzes oder der Maxwell-
Gleichungen in integraler Form.
Aufgabe 239 Ein unendlich langer gerader Draht trägt die elektrische Ladungsdichte λ =
1.8 · 10 −9 C/m. Bestimmen Sie mit Hilfe des Gauß’schen Satzes die elektrische Feldstärke in
der Umgebung des Drahtes und berechnen Sie diese im Abstand 0.1 m.
Aufgabe 240 Bestimmen Sie mit Hilfe des Stokes’schen Satzes die magnetische Feldstärke
im Inneren einer langen Zylinderspule (Länge l ≫ r, Stromstärke I, Windungszahl n).
Aufgabe 241 Berechnen Sie die elektrische Feldstärke in der Umgebung eines gleichmäßig
geladenen, unendlich langen Drahtes mit der linearen Ladungsdichte λ aus dem Potential
U = −
λ ln √ x
2πε 2 + y 2 .
0
Aufgabe 242 Acht kleine kugelförmige Regentropfen gleichen Durchmessers besitzen das
Potential U 0 . Sie vereinigen sich zu einem größeren Tropfen. Wie groß ist dessen Potential?
Aufgabe 243 Zeigen Sie, dass das Potential einer gleichmäßig geladenen Kreisscheibe in
einem Punkt P auf der Scheibenachse gegeben ist durch die Beziehung
U =
λ
2ε 0
( √ a 2 + r 2 − r) .
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode