Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

8.3. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 329
§ 1237 Zur Illustration betrachten wir ein Beispiel. Gesucht ist die Projektion des Vektors
⃗a = (a x , a y , a z ) auf die x-Achse. Das Problem ist trivial, das Ergebnis ist (a x , 0, 0) =
a x ⃗e x . Formal müssen wir zuerst die Projektionsmatrix erzeugen. Mit der Projektionsrichtung
(1, 0, 0) ist diese gegeben zu
⎛ ⎞
⎛ ⎞
P =
⎝ 1 0 ⎠ ( 1 0 0 ) =
0
⎝ 1 0 0
0 0 0 ⎠ .
0 0 0
Auf ⃗a angewandt erhalten wir wie erwartet
⎛
⃗a P = ⎝ 1 0 0
⎞ ⎛
0 0 0 ⎠ ⎝ a ⎞ ⎛
x
a y
⎠ = ⎝ a ⎞
x
a y
⎠ = a x ⃗e x .
0 0 0 a z a z
§ 1238 Für die Projektion eines Vektors auf einen anderen ist die Darstellung (8.14) gegenüber
der Verwendung des Skalarprodukts übertrieben. Betrachten wir jedoch den Fall,
dass wir einen Satz wechselseitig orthogonaler Basisvektoren ⃗e k haben (z.B. die drei Achsen
eines kartesischen Koordinatensystems). Projizieren wir auf jede dieser Achsen, so erhalten
wir
P⃗a = ∑ ⃗e k (⃗e k · ⃗a) (8.15)
als die Projektion von ⃗a auf den durch die ⃗e k aufgespannten (Unter-)Raum. Für k = 3
erhalten wir
⃗e x (⃗e x · ⃗a) + ⃗e y (⃗e y · ⃗a) + ⃗e z (⃗e z · ⃗a) = a x ⃗e x + a y ⃗e y + a z ⃗e z . (8.16)
Damit ist ∑ 3
k=1 ⃗e k(⃗e k ·⃗a) = ⃗a, d.h. der Operator auf der linken Seite ist der Einheitsoperator:
3∑
⃗e k ⃗e k = E . (8.17)
k = 1
Gleichung (8.15) besagt, dass die Vektoren ⃗e k verwendet werden können, um eine vollständige
Repräsentation eines beliebigen Vektors zu erzeugen. Die Vektoren ⃗e k werden daher als ein
vollständiges System bezeichnet, (8.17) als Vollständigkeitsrelation.
§ 1239 Betrachten wir ein N < n, so liefert (8.15) die Projektion von ⃗a in einen Unterraum:
für N = 1 die bereits bekannte Projektion auf eine Gerade, wie auch in § 1237 verwendet,
für N = 2 die Projektion auf eine Ebene. 2
§ 1240 Erweitern wir § 1237. Projezieren wir den Vektor ⃗a auf den dreidimensionalen kartesischen
Raum, so erhalten wir (8.16). Für die Projektion auf den Unterraum xy-Ebene
erhalten wir mit (8.14) und (8.15)
⎛
P xy = ⎝ 1 ⎞
⎛
0 ⎠ ( 1 0 0 ) + ⎝ 0 ⎞
⎛
1 ⎠ ( 0 1 0 ) = ⎝ 1 0 0
⎞
0 1 0 ⎠
0
0
0 0 0
und damit
⎛
⃗a xy = P xy ⃗a = ⎝ 1 0 0
⎞ ⎛
0 1 0 ⎠
0 0 0
⎝ a ⎞
x
a y
⎠ =
a z
⎛
⎝ a x
a y
0
2 Um einen Vektor ⃗a auf eine Ebene zu projizieren, die von zwei beliebigen, in der Regel nicht senkrecht
auf einander stehenden Vektoren ⃗r 1 und ⃗r 2 aufgespannt wird, muss man diese Vektoren vorher in ein Orthonormalsystem
überführen. Dazu wird der eine Vektor normiert, d.h. z.B. ⃗e 1 = ⃗r 1 /|⃗r 1 |. Vom zweiten Vektor ⃗r 2
bestimmen wir gemäß (1.10) die Projektion auf den ersten. Dann erhalten wir den senkrecht auf ⃗r 1 stehenden
Vektor als ⃗r 2⊥ = ⃗r 2 −⃗r 2,⃗r1 und normieren diesen, um den zweiten Basisvektor ⃗e 2,⊥ eines Orthonormalsystems
zu erhalten. Die Projektion ist dann durch den Operator P = ⃗e 1 ⃗e 1 + ⃗e 2,⊥ ⃗e 2,⊥ gegeben.
⎞
⎠ .
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007