Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

8.3. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 327
8.3.2 Eindeutigkeit und Inverse Matrix
§ 1227 Das lineare Gleichungssystem ⃗y = A⃗x lässt sich durch Multiplikation mit der Inversen
Matrix A −1 lösen:
A −1 ⃗y = A −1 A⃗x = ⃗x mit A −1 A = E .
Diese Umkehrung der Abbildung ist nur dann möglich, wenn die Abbildung selbst eindeutig
ist: für einen gegebenen Vektor ⃗y existiert genau ein ⃗x derart, dass ⃗y = A⃗x. Daher ist eine
Matrix dann und nur dann invertierbar, wenn es keinen nicht-trivialen Vektor ⃗x 0 gibt, derart
dass A⃗x 0 = 0.
§ 1228 Wann ist das der Fall? Nehmen wir an, dass sich der Vektor ⃗x = (x 1 , . . . , x n ) mit Hilfe
der Basen {⃗e 1 , . . . , ⃗e n } darstellen lässt. Dann lässt sich die homogene Gleichung schreiben als
( n
)
∑
n∑
A⃗x 0 = A x k ⃗e k = x k A⃗e k . (8.12)
k=1
k=1
Diese Summe besteht wieder aus den x k , jetzt jeweils mulitpliziert mit einem Produkt A⃗e k .
Letzteres hat z.B. die Form
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
a 11 . . . a 1n 0 a 1 2
a
A⃗e 2 = ⎜ 21 . . . a 2n
⎟ ⎜ ⎟
⎝
.
⎠ ⎝
1.
⎠ = a
⎜ 22
⎟
⎝
.
⎠ = (⃗a i2) .
a n1 . . . a nn 0 a n2
Das Produkt der Matrix mit dem k ten Einheitsvektor wählt also die k te Spalte der Matrix
als Vektor (⃗a i2 ) aus.
§ 1229 Damit lässt sich (8.12) schreiben als
A⃗x 0 =
n∑
x k (⃗a ik ) .
k=1
Dieser Ausdruck ist eine Linearkombination der Spalten (⃗a i2 ) der Matrix. Wenn diese Linearkombination
verschwindet, lässt sich die Matrix nicht invertieren und die Matrix ist singulär.
Oder anschaulich: die Spaltenvektoren sind linear abhängig. Verschwindet die Linearkombination
dagegen nicht, so sind die Spaltenvektoren linear unabhängig und die Matrix ist
regulär. Die Überprüfung erfolgt mit Hilfe der Determinanten: diese verschwindet, wenn die
Spalten- oder Zeilenvektoren linear abhängig sind, ist aber bei linear unabhängigen Spaltenvektoren
von Null verschieden. Daher: eine Matrix kann nur dann invertiert werden, wenn
ihre Determinante von Null verschieden ist.
8.3.3 Eigenwerte und -vektoren
§ 1230 Eine Matrix beschreibt eine Projektion. Eigenvektoren sind spezielle Vektoren im
Bezug auf eine Matrix A insofern, als dass sie bei der Projektion mit A auf sich selbst abgebildet
werden, wenn auch um einen Faktor λ gestreckt oder gestaucht:
A⃗v = λ⃗v .
Symmetrische Matrizen
§ 1231 Für symmetrische reelle Matrizen haben Eigenvektoren einige spezielle Eigenschaften.
Diese wurden in Abschn. 8.2.8 zwar schon erwähnt, sollen hier aber etwas genauer
betrachtet werden.
Satz 20 Die Eigenwerte eine reellen symmetrischen Matrix sind reell.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007