Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

6 KAPITEL 1. VEKTOREN
Abbildung 1.3: Vektoraddition
In kartesischen Koordinaten sind zwei Vektoren gleich, wenn sie in allen ihren Komponenten
übereinstimmen: 1
⃗a = ⃗ b ⇔ ∀ i : a i = b i .
Definition 3 Zwei Vektoren ⃗a und ⃗ b heißen parallel, ⃗a‖ ⃗ b, wenn sie gleiche Richtung haben:
⃗a‖ ⃗ b ⇔ ⃗e ⃗a = ±⃗e ⃗b .
Sie werden unterschieden in gleichsinnig parallel (⃗e ⃗a = ⃗e ⃗b ) und gegensinnig parallel (⃗e ⃗a = ⃗e ⃗b ).
§ 55 Für Zahlenkörper und Vektorräume ist der Begriff des inversen oder negativen Elements
zentral: die Existenz eines inversen Elements bedeutet, dass es zu jedem Element e ein Inverses
e inv gibt, das die mit e ausgeführte Operation rückgängig macht. Bei der Addition eines
Vektors ⃗a zu einem anderen Vektor ist das inverse Element der Gegenvektor −⃗a, der den
gleichen Betrag wie ⃗a hat aber die entgegengesetzte Richtung. Oder formal:
Definition 4 Für den Gegenvektor ⃗a inv des Vektors ⃗a gilt:
⃗a inv = −⃗a ⇔ |⃗a inv | = |⃗a| ∧ ⃗e ⃗ainv = −⃗e ⃗a .
Die Addition des inversen Elements liefert das neutrale Element, den Nullvektor.
§ 56 Die Addition von zwei Vektoren ⃗a und ⃗ b kann graphisch durch das an einander Hängen
der Vektoren erfolgen: der Vektor ⃗ b wird parallel zu sich selbst verschoben bis sein Anfangspunkt
in den Endpunkt des Vektors ⃗a fällt. Der vom Anfangspunkt des Vektors ⃗a zum
Endpunkt von ⃗ b gerichtete Vektor ist der Summenvektor ⃗a + ⃗ b, vgl. Abb. 1.3. 2
§ 57 Vektoren werden in kartesischen Koordinaten komponentenweise addiert, vgl. Abb. 1.3:
⎛
⃗c = ⃗a + ⃗ b = ⎝ a ⎞ ⎛ ⎛
⎛
x
a y
⎠ +
a z
⎝ b ⎞
x
b y
⎠ =
b z
⎝ a ⎞
x + b x
a y + b y
⎠ =
a z + b z
⎝ c ⎞
x
c y
⎠ .
c z
Formal lässt sich dieser Zusammenhang unter Verwendung der Darstellung eines Vektors mit
Hilfe der Einheitsvektoren begründen:
⃗c = ⃗a + ⃗ b = a x ⃗e x + a y ⃗e y + a z ⃗e z + b x ⃗e x + b y ⃗e y + b z ⃗e z
= (a x + b x )⃗e x + (a y + b y )⃗e y + (a z + b z )⃗e z = c x ⃗e x + c y ⃗e y + c z ⃗e z .
1 Das Symbol ∀ bedeutet ‘für alle’, d.h. die Gleichung kann gelesen werden als ’ Vektor ⃗a ist gleich Vektor
⃗ b genau dann wenn ai = b i für alle Komponenten i der Vektoren.’
2 Alternativ können Sie die beiden Vektoren auch so verschieben, dass ihre Anfangspunkte zusammenfallen.
Dann spannen diese Vektoren ein Parallelogramm auf, dessen Diagonale dem Summenvektor entspricht:
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode