Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

550 ANHANG D. LÖSUNGEN ZU FRAGEN UND AUFGABEN
Kapitel 2
Frage 19: direkter Beweis. Sei n eine beliebige natürliche Zahl. Dann ist 2n+1) eine beliebige
natürliche Zahl und für ihr Quadrat gilt
(2n + 1) 2 = 4n 2 + 4n + 1 = 4n(n + 1) + 1 .
Die Behauptung ist dann: 4n(n + 1) + 1 lässt bei Division durch 8 den Rest 1, d.h. 4n(n + 1)
ist durch 8 teilbar. Zum Beweis machen wir eine Fallunterscheidung: ist n gerade, so ist n
durch 2 teilbar und damit 4n durch 8 teilbar, ebenso wie 4n(n + 1). Ist n dagegen ungerade,
so ist n + 1 gerade, also ist 4(n + 1) durch 8 teilbar und damit auch 4n(n + 1).
Aufgabe 20: indirekter Beweis, Beweis durch Widerspruch. Wir nehmen an, dass es eine
natürliche Zahl gibt, deren Quadrat 8 ist: n 2 = 8. Wegen 2 2 < n 2 < 3 3 muss für diese Zahl
gelten 2 < n < 3. Da es zwischen 2 und 3 keine weitere natürliche Zahl gibt, ist das ein
Widerspruch zur Annahme. Also ist die Annahme falsch und die Behauptung wahr.
Aufgabe 29: die ersten Glieder der Folge sind
1
2 , 2
3 , 3
4 , 4
5 , 5
6 , 6
7 , . . . .
Die Folge ist monoton steigend, da für die Differenz zweier benachbarter Folgenglieder gilt
a n+1 − a n = n + 1
n + 2 − n
n + 1 = n2 + n + 1
(n + 1)(n + 2) > 0 .
Für n → ∞ hat die Folge den Grenzwert
lim a n
n = lim
n→∞ n→∞ n + 1 = 1 .
Damit ist die obere Grenze der Folge gegeben durch die 1. Die untere Grenze ist durch das
erste Glied der Folge gegeben, d.h. es gilt auch
a n =
n
n + 1 ≥ 1 2 .
Die Beschränkheit der Folge lässt sich zusammenfassend darstellen als
1
2 ≤ a n ≤ 1 ∀n .
Aufgabe 30: a ∞ = 3, b ∞ = 0, c ∞ = 1, d ∞ = 0, e ∞ = 1, f ∞ = 0, g ∞ = 1, h ∞ = 1, i ∞ = e,
j ∞ = e −2 .
Aufgabe 32: von der Entwicklung der Exponentialfunktion ausgehen mit negativem Exponenten:
∞∑
e −x (−1) n x n
∞∑ (−1) n x n
∞∑ (−1) n+1 x n
=
= 1 +
= 1 −
.
n!
n!
n!
i=0
i=1
Für x = 1 ergibt sich der zu verifizierende Ausdruck.
Aufgabe 33: Reihenentwicklung des Sinus liefert
I =
∫ 1
0
(
) ∫
1
1
x 2 x − x3
3! + x5
5! − x7
7! . . . dx =
0
n=1
∫1
dx
x −
0
∫1
x
3! dx +
0
x 3 ∫1
5! dx −
0
x 5
7! dx . . . .
Außer dem ersten Integral sind alle Integrale endlich, lediglich für das erste Integral ergibt
sich
∫ 1
0
dx
x = [ln x]1 0 = ∞ ,
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode