Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

506 ANHANG B. MATLAB: THE BASICS
subplot(2,1,1), plot(t,xanalytisch,’-r’); % analytische Lösung in rot
hold on
plot(t,x,’:ob’);
xlabel(’Zeit t’,’Fontsize’,14);
ylabel(’x’,’Fontsize’,14);
title(’Euler-Verfahren Vorwärts’,’Fontsize’,18);
text(1.1,55.,’rot: analytisch’);
text(1.1,50.,’blau: numerisch’);
subplot(2,1,2),plot(t,(x-xanalytisch)./xanalytisch);
xlabel(’Zeit t’,’Fontsize’,14);
ylabel(’relative Abweichung’,’Fontsize’,14);
hold off
Func: eulervorwaerts
function [t,x] = eulervorwaerts(f,a,b,dt,x0)
% Funktion zur Lösung einer DGL der Form dot(x)=f mit Hilfe des
% Euler-Vorwaerts-Verfahrens.
% Eingabe: Funktion f
% Integrationsintervall a, b
% Schrittweite dx
% Anfangswert x0
% Ausgabe: graphisch
% Vektoren t und x
% Aufruf: [t,x] = eulervorwaerts(f,a,b,dx,x0)
t=[a:dt:b]; x(1)=x0;
for i=2:length(t);
x(i)=x(i-1) + dt*feval(f,t(i-1),x(i-1));
end
plot(t,x,’:ob’);
xlabel(’Zeit t’,’Fontsize’,14);
ylabel(’x’,’Fontsize’,14);
title(’Euler-Verfahren Vorwaerts’,’Fontsize’,18);
Skript: eulerrueckskript
% Beispiel zur numerischen Integration einer gewöhnlichen
% Differentialgleichung nach dem Euler’schen Streckenzugverfahren. Als
% Beispiel wird die DGL xy’-y=x^2+4
% Festlegung von Integrationsintervall und Schrittweite
clear,clf
% löscht alle alten Variablen
tl = 1.; % untere Grenze des Integrationsintervalls
tr = 5.; % obere Grenze des Integrationsintervalls
dt = 0.2; % Schrittweite des numerischen Schemas
fh = @(t,x) (t.^2+4+x)/t; % Definition der Funktion über ein Handle
% Erzeugen der analytischen Lösung im Integrationsintervall an den
% Stützstellen, die auch von der numerischen Lösung benutzt werden
t=[tl:dt:tr];
xanalytisch=t.^2-4+5.*t;
%%%%%%%%%%%%%%Numerische Lösung%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
x(1)=2; % Randbedingung vorgeben
xr(1)=2;
for i=2:length(t); % Euler vorwaerts konventionell
x(i)=x(i-1) + dt*feval(fh,t(i-1),x(i-1));
end
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode