Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

434 KAPITEL 11. PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
ω = 2π/365 und T 0 = const. Legen wir das Koordinatensystem derart, dass der Erdboden
durch x = 0 gegeben ist. Dann ist die Randbedingung T (0, t) = T 0 cos(ωt). Um diese in der
Separation verwenden zu können, schreiben wir die Temperatur wie in § 803–805 diskutiert
als Realteil einer komplexen Größe
T 0 cos(ωt) = R(T 0 exp(iωt)) .
§ 1617 Anwendung dieser komplexen Randbedingung auf die separierte PDGL liefert als
komplexe Lösung
(√ ) ( √ ))
iω iω
κ x κ x
T (x, t) = e iωt [A exp
+ B exp
−
.
Unter Berücksichtigung von √ i = (1 + i)/ √ 2 lässt sich dieser Ausdruck umschreiben zu
T (x, t) = e iωt [ A e (1+i)Ωx + B e −(1+i)Ωx] mit Ω = √ ω/(2κ) .
§ 1618 Der erste Term in der Klammer wächst exponentiell an. Das ist physikalisch sicherlich
nicht sinnvoll, d.h. es muss gelten A = 0. Dann gilt auch B = T 0 , so dass sich die Lösung
reduziert auf
T (x, t) = T 0 e iωt e −(1+i)Ωx mit Ω = √ ω/(2κ) .
Das ist allerdings immer noch eine komplexe Lösung für ein reales Problem. Der Realteil
dieses Ausdrucks ist
T (x, t) = T 0 e −Ωx cos(ωt − Ωx) mit Ω = √ ω/(2κ) .
§ 1619 Diese Lösung ist plausibel: die Temperatur nimmt mit zunehmendem Abstand von
der Erdoberfläche exponentielle ab und zwischen den Maxima und Minima der Temperatur
gibt es eine von der Höhe abhängige Verzögerung Ωx: mit zunehmender Tiefe werden die
Extrema der Temperaturkurve später erreicht, da sich dieses Signal erst von der Oberfläche
in die Tiefe ausbreiten muss.
Zwischenrechnung 65 Führen Sie die Lösung selbständig durch, inklusive des oben gegebenen
Separationsansatz.
Verständnisfrage 30 Die Erde ist dreidimensional; selbst bei der Vorstellung der Erde als
Scheibe hätte man es mit einem zweidimensionalen Körper zu tun. Warum ist die eindimensionale
Wärmeleitungsgleichung dennoch auf diese Situation anwendbar? Würde die gleiche
Argumentation auch auf einen Asteroiden von 38 km Durchmesser anwendbar sein?
11.7 Mathematische Ergänzungen
11.8 PDGLs in MatLab
Kontrollfragen
Fragen
Aufgaben
Literatur
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode