Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

140 KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG
Abbildung 4.9: Feldlinien und Äquipotentiallinien
für ein homogenes (links),
ein zylindersymmetrisches (Mitte) und
ein Wirbelfeld (rechts)
Spezielle Felder
§ 554 Felder können sehr verschiedene geometrische Konfigurationen haben: versuchen Sie
sich dies am Beispiel des Temperaturfeldes in einem Raum vorzustellen. Die Wände und
Boden/Decke haben vergleichbare Temperaturen, so dass in einem derart idealisierten Raum
eine fast gleichförmige Temperaturverteilung zu erwarten ist, ein konstantes Temperaturfeld
also. In einem realen Raum dagegen gibt es die Wärmeinsel Heizkörper, von der sich ein Bereich
deutlich erhöhter Temperatur in den Raum erstrecken wird, sowie die kühleren Bereiche
am Fenster und an der Tür. Je nach Anordnung der einzelnen Elemente kann ein derartiges
Temperaturfeld eine beliebig komplizierte Struktur annehmen. Andererseits gibt es in der
Physik jedoch auch verschiedene geometrisch sehr einfach beschreibbare Standardfelder, die
breite Anwendung finden. Einige Beispiele sind hier gegeben.
§ 555 In einem homogenen Feld ⃗ A(x, y, z) = const hat der Feldvektor in jedem Punkt des
Feldes die gleiche Richtung und den gleichen Betrag, vgl. Abb. 4.9. Ein Beispiel ist das elektrische
Feld in einem Plattenkondensator. Symmetriegerechte Koordinaten sind kartesische Koordinaten,
wobei zur Vereinfachung der Rechnung einer der Einheitsvektoren (anti-)parallel
zum Feld gerichtet sein sollte. 3 Ein homogenes Skalarfeld ist durch A(x, y, z) = const gegeben,
d.h. das Feld hat in jedem Punkt den gleichen Betrag. Der nicht ganz angemessene Fall
(weil eigentlich ein Vektorfeld) wäre der Betrag des elektrischen Feldes innerhalb des Plattenkondensators.
Ein angemesseneres Beispiel ist das Temperaturfeld in einem Raum/Körper,
dessen Wände alle die gleiche Temperatur haben (und bei dem sich durch Wärmetransport
bereits ein thermisches Gleichgewicht eingestellt hat). Auch die Dichteverteilung innerhalb
eines homogenen Holzklotzes oder die Ladungsdichteverteilung innerhalb eines Kupferblocks
sind Beispiele für homogene Skalarfelder.
§ 556 In einem kugelsymmetrischen Feld oder in einem Zentralfeld zeigt der Vektor in jedem
Punkt des Feldes radial nach außen bzw. innen und der Betrag des Feldvektors hängt nur vom
Abstand r vom Koordinatenursprung ab. Die Äquipotentialflächen eines Zentralfeldes sind
konzentrische Kugelschalen; symmetriegerechte Koordinaten sind daher Kugelkoordinaten.
Ein kugelsymmetrisches Feld ist in der Form
⃗A(⃗r) = A(r) ⃗e r = A(r) ⃗r r = A r
r ⃗r oder ⃗ A(⃗r) = A0 r α ⃗e r .
darstellbar. Beispiele sind das Gravitationsfeld der Erde oder das elektrische Feld einer Punktladung.
Der mittlere Teil von Abb. 4.9 skizziert Feld und Äquipotentiallinien in einer beliebigen
durch den Ursprung gehenden Ebene.
§ 557 Ein radialsymmetrisches Skalarfeld ist das Gravitationspotential oder das elektrostatische
Potential einer Punktladung. Dieser ‘Potentialtopf’ ist uns bereits aus Aufgabe 56
bekannt. Das Feld lässt sich durch konzentrische Äquipotentialflächen beschreiben, Feldvektoren
wie beim elektrischen Feld oder der Gravitationskraft existieren in einem Skalarfeld
nicht. Auch das Temperaturfeld einer punktförmigen Wärmequelle (z.B. der Sonne) lässt
ich so beschreiben, ebenso die Dichte des Sonnenwindes oder die Flussdichte der solaren
elektromagnetischen Strahlung.
3 Die Freiheit, Ihr Koordinatensystem nach eigenen Wünschen zu orientieren, haben Sie. Als Gewinn aus
dieser Koordinatentransformation erhalten Sie eine einfachere Formuleirung des physikalischen Problems.
Diesen Trick haben wir bereits bei der Bewegung der Ladung in einem homogenen Magnetfeld in § 134
verwendet, vgl. auch Verständnisfrage 6.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode