Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

C.1. BINOME, POTENZEN, PQ-FORMELN 517
a n · a m = a m+n Produkte von Potenzen gleicher Basis
a n
a
= a n−m Quotienten von Potenzen gleicher Basis
m
(a n ) m = a nm = ( a m ) n Potenzen von Potenzen
a m/n = n√ a m = ( n√ a) m Wurzeln
(a · b) n = a n · b n Potenz eines Produkts
Tabelle C.1:
Rechenregeln
Potenzen
für
§ 1861 Bei Multiplikation und Division können Potenzen gleicher Basis zusammen gefasst
werden:
a b · a c = a b+c
a b
und
a c = ab · a −c = a b−c .
Machen wir uns das an einem Beispiel plausibel mit b = 5 und c = 3:
und
a 5 · a 3 = (a · a · a · a · a) · (a · a · a) = a · a · a · a · a · a · a · a = a 8 = a 5+3
a 5
a 3 = a · a · a · a · a = a · a = a 2 = a 5−3 .
a · a · a
§ 1862 Die Regel für das Potenzieren von Potenzen,Potenzen!potenzieren
(a b ) c = a b·c
können wir uns entsprechend veranschaulichen:
(a 5 ) 3 = a 5 · a 5 · a 5 = a 5+5+5 = a 3·5 = a 15 ,
wobei wir die Multiplikationsregel für Potenzen verwendet haben.
§ 1863 Bei der Division von zwei Potenzen haben wir zum Umschreiben des Nenners bereits
verwendet, dass
1
a b = a−b
gilt. Das lässt sich an Hand des Beispiels oben auch direkt nachvollziehen. An Hand der
Regeln für die Potenzen von Potenzen lässt sich auch die folgende Regel nachvollziehen:
a 1 b =
b √ a ,
d.h. es wird die bte Wurzel gebildet. Hierbei handelt es sich um die Umkehrung der Potenzfunktion,
d.h. die bte Wurzel aus a b ergibt genau wieder a. Dies lässt sich mit Hilfe der
Rechenregel für due Potenzen von Potenzen verstehen:
b√
ab = (a b ) 1 b = a
b· 1
b = a 1 = a .
§ 1864 Ein gleicher Exponent bei unterschiedlichen Basen kann auf die beiden Basen verteilt
werden:
(a · b) n = a n · b n .
Alle Rechenregeln für Potenzen sind nochmals in Tab. C.1 zusammen gefasst.
Beispiel 8 Als Aufwärmübung vereinfachen wir den Ausdruck
a x+1 · b x+3 · a 3x−1 · b x+3
a x−2 · b 3−x · a x · b x+1 .
Darin treten Terme mit der Basis a auf und solche mit Basis b, so dass wir am Ende
einen Ausdruck der Form a m b n erhalten werden. Daher sortieren wir im ersten Schritt
nach as und bs:
a x+1 · b x+3 · a 3x−1 · b x+3
a x−2 · b 3−x · a x · b x+1
= ax+1 · a 3x−1
a x−2 · a x · bx+3 · b x+3
b 3−x · b x+1 .
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007