Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

248 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Abbildung 7.5: Lösung des
gedämpften Oszillators für den
Kriechfall: die Schwingung nähert
sich asymptotisch der Ruhelage
ohne noch einmal durch diese
hindurch zu schwingen
Zwischenrechnung 35 Schreiben Sie die Lösung explizit für die verschiedenen beim harmonischen
Oszillator gegebenen Anfangsbedingungen auf.
§ 944 Auf Grund der zusätzlichen Dämpfung ergibt sich bei der Darstellung im Phasenraum
keine geschlossene Kurve, da die Punkte maximaler Auslenkung und maximaler Geschwindigkeit
nach einer Periode nicht wieder auf die gleichen Werte fallen. Im Beispiel im rechten
oberen Teil von Abb. 7.3 begann die Schwingung zwar bei maximaler Auslenkung x max , jedoch
wird bereits nach T/4 beim Nulldurchgang nicht mehr die maximale Geschwindigkeit
erreicht und entsprechend nach T/2 nicht mehr bis −x max ausgelenkt wird. Die Ellipse des
harmonischen Oszillators zieht sich immer enger zusammen und strebt gegen die Ruhelage
im Punkt (0,0).
Kriechfall (starke Dämpfung)
§ 945 Für den Kriechfall ergibt sich mit den reellen Eigenwerten
√
λ 1,2 = −γ ±
√γ 2 − ω0 2 = −γ ± ˜ω mit ˜ω = γ 2 − ω0
2
die reelle Lösung
x(t) = e −γt ( ae˜ωt + be −˜ωt) .
Der erste Faktor beschreibt wieder das durch die Dämpfung bedingte Abklingen der Amplitude.
Die den zweiten Faktor bildende Summe können wir für die beiden Spezialfälle der
Anfangsbedingung auswerten:
• Start bei maximaler Auslenkung, x(0) = x max und v(0) = 0. Aus x(t) erhalten wir x max =
a + b, aus v(t) dagegen 0 = a˜ω − b˜ω und damit a = b = x max /2. Die Lösung der DGL für
den Kriechfall ist also
x(t) = e −γt 1 (
x e˜ωt max + e˜ωt) = e −γt x max cosh(˜ωt) .
2
• Start im Nulldurchgang bei maximaler Geschwindigkeit, d.h. x(0) = 0 und v(0) = v max .
Aus x(t) erhalten wir 0 = a + b, aus v(t) dagegen v max = a˜ω − b˜ω und damit a = −b =
v max /(2˜ω). Die Lösung der DGL für den Kriechfall ist damit
x(t) = e −γt v max 1 ( e˜ωt − e˜ωt) = e −γt v max
˜ω 2
˜ω sinh(˜ωt) .
Beide Lösungen wechseln für t > 0 das Vorzeichen nicht, d.h. die Schwingung geht nicht noch
einmal durch die Ruhelage sondern nähert sich auf Grund des e −γt -Terms asymptotisch der
Ruhelage. Zwar wachsen sinh(˜ωt) und cosh(˜ωt) mit zunehmendem t auf Grund des e˜ωt -Terms
gegen unendlich. Da jedoch γ 2 > ω0 2 ist auch γ 2 > ˜ω 2 und da beide positiv und reell sind
auch γ > ˜ω, so dass das Produkt e −γt e˜ωt = e (−γ+˜ω)t einen Exponenten kleiner Null hat.
Daher strebt das Produkt für wachsendes t monoton fallend gegen Null, siehe Abb. 7.5.
§ 946 Die Phasenbahn für den Kriechfall aus der maximalen Auslenkung heraus ist im linken
unteren Teil von Abb. 7.3 gezeigt: die Kurve bewegt sich von der maximalen Auslenkung
langsam in Richtung auf den Ursprung ohne die v = 0-Achse nochmals zu kreuzen, d.h. ohne
Durchschwingen durch die Ruhelage.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode