Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

10.4. INTEGRALSÄTZE 395
⎡ ⎛
= 2π4 5 ⎣ 1 [
⎝ − sin3 ϑ cos ϑ
8 5
⎡
= 2π4 5 ⎣ 1 ∫ π
sin 3 ϑ dϑ +
10
= 2π 4 4 ⎡
⎣ 1 10
ϑ=0
] 2π
0
∫ π
ϑ=0
+ 4 5
[
− cos ϑ + 1 3 cos3 ϑ
⎡
= 2π 4 4 ⎣ 1 (
2 − 2 )
+
10 3
[ 2
= 2π 4 5 15 − 2 1
5 3
Abbildung 10.11: Zirkulation
längs einer kleinen Rechteckkurve
parallel zur (x, y)-Ebene um
⃗r 0 = (x 0 , y 0 , z 0 )
∫ π
ϑ=0
⎞
sin 3 ϑ dx⎠+
⎤
sin 3 ϑ cos 2 ϑ dϑ⎦
] π
0
+
[ sin 2 ϑ cos 3 ϑ
∫ π
ϑ=0
] π
0
∫ π
ϑ=0
sin 3 ϑ cos 2 ϑ dϑ⎦
∫ π
+ 2 5 5
[
cos 3 ϑ ] ] (
π
2
= 2π4 5 0
15 + 4
15
ϑ=0
⎤
sin 3 ϑ cos 2 ϑ dϑ⎦
⎤
⎤
sin ϑ cos 2 ϑ dϑ⎦
)
= 46
5 π .
§ 1480 Eine Alternative zu dieser dieser Schinderei wird durch den Gauß’schen Satz geboten.
Auf dessen linker Seite (in der Formulierung in (10.19)) steht ja gerade der Fluss. Also können
wir den Fluss auch mit Hilfe der rechten Seite berechnen. Dazu bilden wir die Divergenz des
Feldes und integrieren dieses Feld dann über das Volumen der Kugel. Für die Divergenz des
Feldes erhalten wir
⎛
∇ · ⃗F = ⎝ ∂/∂x
⎞ ⎛ ⎞
∂/∂y ⎠ · ⎝ xy2
yz 2 ⎠ = y 2 + z 2 + x 2 = r 2 .
∂/∂z zx 2
Damit wird die rechte Seite von (10.19)
Φ =
∫
= 2π
∇ · ⃗F dV =
∫ 4
r=0 ϑ=0
[ r
5
= 4π
5
∫ π
∫ 4
∫ π
∫2π
r=0 ϑ=0 ϕ=0
r 4 sin ϑ dϑ dr = 2π
] 4
0
= 46
5 π .
r 4 sin ϑ dϕ dϑ dr
∫ 4
r=0
[− cos ϑ] π 0 r 4 dr
Beide Seiten sind identisch, so dass wir die Gültigkeit des Gauß’sches Satzes an diesem Feld
verifiziert haben. Das Volumenintegral der Divergenz des Feldes ist jedoch ein mathematisch
wesentlich leichter zu handhabender Ausdruck als das Oberflächenintegral des Feldes.
10.4.2 Stokes’scher Integralsatz
§ 1481 Der Stokes’sche Integralsatz besagt, dass sich alles, was innerhalb einer geschlossenen
Fläche an Wirbeln entsteht, zu einer Gesamtzirkulation entlang der Umrandung addiert. Um
diese Aussage zu verstehen, beginnen wir mit der Darstellung der Rotation als Wirbelstärke.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007