Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

2.7. MATLAB ERGÄNZUNGEN 73
§ 296 Auch im Stern des Phytagoras (Pentagramm) tritt der goldene Schnitt auf. Der rechte
Teil von Abb. 2.10 zeigt, dass das Pentagram zwei Pentagone enthält: das äußere, durch
die Spitzen ABCDE markierte aber nicht gezeichnete, sowie ein inneres, durch die Ecken
abcde markiert. Beide Pentagone sind regulär, d.h. alle Seiten und Winkel sind gleich. Das
Pentagramm entsteht durch Verbindung nicht benachbarter Punkte des äußeren Pentagons
durch gerade Linien – dies kann in einer durchgehenden Kurve geschehen.
§ 297 Die Dreiecke ACD und Adc des Pentagramms in Abb. 2.10 sind ähnlich. Also stehen
entsprechende Seiten in gleichem Längenverhältnis. Insbesondere gilt
x
y = Ac
cd = AD
CD .
Da die Seiten des inneren Pentagons alle gleiche Länge haben, ist AD = 2x+y. CDEd bildet
einen Rhombus, also ist CD = dE = x + y. Damit erhalten wir für das obige Seitenverhältnis
x
y = 2x + y
x + y = 1 + 1
1 + y/x .
Umformen liefert mit t = x/y als Verhältnis dieses Seitenstückchen den Goldenen Schnitt
t 2 = t + 1 → t = x y = α .
Außerdem gilt
cD
Ac = x + y = 1 + y x x = 1 + 1 α = α .
Das Pentagramm lässt sich also aus Strecken mit vier verschiedenen Längen (in aufsteigender
Reihenfolge) y, x, x + y und 2x + y konstruieren. Die Verhältnisse auf einander folgender
Längen sind jeweils der Goldene Schnitt
x
y = x + y = 2x + y
x x + y = α .
2.7 MatLab Ergänzungen
§ 298 Folgen und Reihen sind kein besonders interessantes Thema für die Anwendung eines
mathematischen oder numerischen Programmpakets: die Untersuchung des Grenzwerts einer
unendlichen Folge oder Reihe ist damit nicht möglich. Daher können nur endliche Folgen
und Reihen untersucht werden; für unendliche lässt sich aus der Verwendung eines mathematischen
Tools lediglich ein Trend abschätzen, wie in Abb. 2.5 und 2.6 angedeutet. Aber
derartige Abschätzungen sind nicht aussagekräftig, da wir nie ausschließen könne, dass sich
nach weiteren 10 10 Schritten die Folge oder Reihe plötzlich ganz anders verhält.
§ 299 Interessant ist an dieser Stelle jedoch das Verfahren, aus dem die Glieder einer Folge
oder einer Reihe gebildet werden. Hier verwenden wir entweder eine direkte Vorschrift wie
a n = 1/n oder ein rekursives Verfahren, bei dem das erste Glied a 1 gegeben ist sowie eine
Rechenvorschrfit, wie das Glied a n+1 aus dem Glied a n bestimmt werden kann. Genau diese
Vorschrift gilt es auch, in den MatLab-Code einzubauen.
2.7.1 Schleifen am Beispiel einer Folge
§ 300 Als erstes sollen mit Hilfe von MatLab die ersten zehn Glieder der harmonischen
Folge im Kommandofenster ausgegeben werden.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007