Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

464 KAPITEL 12. STATISTIK
Tabelle 12.3: Werte für den Parameter t in Abhängigkeit von der Anzahl n der Messwerte
und dem gewählten Vertrauensniveau. γ ist die Wahrscheinlichkeit, dass der unbekannte
Mittelwert innerhalb des angegebenen Intervalls liegt. Alternativ kann auch eine Irrtumswahrscheinlichkeit
α mit α = 1 − γ angegeben werden
Vertrauensniveau γ
n 68.3% 90% 95% 99%
2 1.84 6.31 12.71 63.33
3 1.32 2.92 4.30 9.93
4 1.20 2.35 3.18 5.84
5 1.15 2.13 2.78 4.60
6 1.11 2.02 2.57 4.03
7 1.09 1.94 2.45 3.71
8 1.08 1.90 2.37 3.50
9 1.07 1.86 2.31 3.36
10 1.06 1.83 2.26 3.25
15 1.04 1.77 2.14 2.98
20 1.03 1.73 2.09 2.86
30 1.02 1.70 2.05 2.76
50 1.01 1.68 2.01 2.68
100 1.00 1.66 1.98 2.63
∞ 1.00 1.65 1.96 2.58
ergibt sich ein experimenteller Mittelwert x = 7.4 mm, die Standardabweichung des Mittelwerts
beträgt s x = 0.1 mm. Eine Angabe von mehr Nachkommastellen für Mittelwert und
Standardabweichung ist nicht sinnvoll, da auch bei den Messwerten nur die erste Nachkommastelle
gegeben ist.
12.4.4 Vertrauensbereich für den Mittelwert
§ 1739 Bisher haben wir uns auf den experimentellen Mittelwert x bezogen einer normalverteilten
Messgröße X. Diesen Wert haben wir aus den Messwerten ermittelt. Der ’
wahre‘
Mittelwert µ der Verteilung ist uns dagegen nicht bekannt und fällt nicht zwingend mit dem
experimentellen Mittelwert x zusammen. Wir können jedoch ein um x symmetrisches Intervall
angeben, in dem der unbekannte Mittelwert µ mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit
p = γ liegt. Bei unbekannter Standardabweichung sind die Grenzen des Vertrauensintervall
x = x ± t σ √ n
= x ± t σ x (12.27)
mit σ als der Standardabweichung, n als der Zahl der Messungen und t als einem Parameter,
der von dem gewählten Vertrauensniveau p = γ und der Zahl der Messungen abhängt, vgl.
Tabelle 12.3. Dieses Verfahren legt die t-Verteilung zugrunde.
§ 1740 Ist dagegen die Standardabweichung σ der normalverteilten Grundgesamtheit vorhanden
(z.B. aus früheren Messungen), so kann man anstelle der t-Verteilung die Standardnormalverteilung
verwenden und erhält für Messwert mit Vertrauensintervall
x = x ± t ∞
σ √n .
§ 1741 In § 1738 haben wir den experimentellen Mittelwert bestimmt. Gesucht ist ein Intervall
um x, in dem der wahre Mittelwert mit einer 95-prozentigen Wahrscheinlichkeit liegt.
Dieses Vertrauensintervall ist nach (12.27) und Tabelle 12.3 gegeben zu x = (7.4 ± 0.2) mm.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode