Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

2.5. MATHEMATISCHE ERGÄNZUNGEN 67
Zwischenrechnung 7 Führen Sie die Reihenentwicklung für den Kosinus selbständig durch.
Zwischenrechnung 8 Überzeugen Sie sich durch Ableiten beider Reihenentwicklungen,
dass diese konsistent sind, d.h. die Ableitung von Sinus ergibt Kosnus und (allerdings mit
Vorzeichenwechsel) umgekehrt.
Weitere Reihen
§ 270 Weitere gebräuchliche Reihen sind die geometrische Reihe (−1 < x < 1):
1
1 + x = 1 − x + x2 − x 3 + . . . ,
die logarithmische Reihe (−1 < x < 1): (siehe auch § 387)
ln(1 + x) = x − x2
2 + x3
3 − . . . ,
und die binomische Reihe (α ∈ N), der wir in der Statistik in Abschn. 12.2.3 noch mehrfach
begegnen werden:
(1 + x) α = 1 + αx +
α(α − 1)
x 2 +
2!
α(α − 1)(α − 2)
x 3 − . . . . (2.11)
3!
Zwischenrechnung 9 Ist die hier gegebene geometrische Reihe konsistent mit der Entwicklung
der Funktion in § 261?
2.5 Mathematische Ergänzungen
§ 271 Die Grundbegriffe für Folgen und Reihen sind bereits recht formal eingeführt worden,
so dass in diesem Kapitel eine mathematische Ergänzung nicht erforderlich ist. Stattdessen
wird an bereits aus der Schule bekannte Beweisverfahren erinnert. Inhaltlich bietet sich bei
Folgen und Reihen häufig die vollständige Induktion als Beweisverfahren an.
2.5.1 Vollständige Induktion
§ 272 Vollständige Induktion ist ein anschaulich sehr einfaches Beweisverfahren: es erlaubt,
Aussagen der Form ‘für jede natürliche Zahl n gilt H(n)’ zu beweisen. Grob vereinfacht gilt:
1. Induktionsanfang: wir zeigen, dass der zu beweisende Sachverhalt für n = 1 (gegebenenfalls
n = 0 oder allgemeiner n = m) gilt: H(1) ist wahr.
2. Induktionsschritt: wir nehmen an, dass der Sachverhalt dann auch für ein n > 1 (bzw.
allgemeiner n > m) gilt. Wir zeigen, dass bei Gültigkeit des Sachverhalts für n er auch
für n + 1 gelten muss: wenn H(n) gilt, so gilt auch H(n + 1).
Damit gilt der Sachverhalt für alle n > 1 (bzw. n > m).
§ 273 Ein Beispiel soll das klassische Verfahren illustrieren. Behauptung: für die endliche
Reihe der natürlichen Zahlen inkl. Null gilt:
H(n) :
n∑
i =
i=0
n(n + 1)
2
1. Induktionsanfang: für n = 0 gilt
0∑
i =
i=0
0(0 + 1)
2
= 0 .
.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007