Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

72 KAPITEL 2. FOLGEN UND REIHEN
Abbildung 2.10: Goldener Schnitt (links)
und Stern des Pythagoras (rechts)
2.6.2 Goldener Schnitt
§ 293 Der Goldene Schnitt ist ein geometrisches Problem und geht bereits auf die Pythagoräer
zurück: gesucht sind die Seitenverhältnisse eines Rechtecks derart, dass bei Entfernung
eines Quadrats mit einer Seitenlänge entsprechend der kürzeren Seite des Rechtecks ein
Rechteck verbleibt, das das gleiche Seitenverhältnis hat wie das ursprüngliche Rechteck, vgl.
linkes Teilbild in Abb. 2.10. Dieses Seitenverhältnis gilt als besonders wohl proportioniert
und spielt daher in der Malerei eine große Rolle – da Vinci’s Vitruvian Man ist ein Spiel mit
dem goldenen Schnitt und anderen Proportionen. 4
§ 294 Fibonacci’s Kaninchen haben mit diesem Schnitt nur insofern zu tun, als dass das in
(2.13) gefundene Verhältnis
α = 1 (
1 + √ )
5 ≈ 1.618034
2
zwischen zwei auf einander folgenden Fibonacci Zahlen genau dieses gesuchte Seitenverhältnis
gibt. Betrachten wir dazu noch einmal Abb. 2.10. Das Seitenverhältnis des Ausgangsrechtecks
soll gleich dem des verbleibenden Rechtecks sein, d.h. es gilt
x
1 = 1
x − 1
und damit x(x − 1) = 1 .
Wie bereits bei den Fibonacci Zahlen gesehen, wird diese Gleichung durch die Ausdrücke in
(2.13) gelöst, wobei hier nur der positive Wert α relevant ist.
§ 295 Das ursprüngliche Rechteck hat eine Fläche α, das verkleinerte Rechteck bei gleichem
Seitenverhältnis eine Fläche α−1. Das Verhältnis der Flächen der beiden Rechtecke ist wegen
α 2 − α = 1
α
α − 1 =
α2
α 2 − α = α2 ≈ 2.618 .
Wenden wir den Goldenen Schnitt wiederholt auf das jeweils verbleibende Rechteck an, so
verkleinert sich dessen Seitenlänge und damit auch dessen Fläche sehr schnell – in Umkehrung
zum schnellen Wachstum der Fibonacci Zahlen.
4 http://www.artquotes.net/masters/leonardo-da-vinci/vitruvian-man.htm merkt dazu an:
“The Virtruvian Man has also been referred to as ‘Canon of Proportions’ or the
‘Proportions of Man’. The image and accompanying text of the Virtruvian man
displays the understanding that Leonardo had of the proportions of man. The artist
used the theories of the Roman architect Vitruvius, calculating the proportion of
the perfect male figure. The text above and below the drawing is written in Mirror
writing by Leonardo.
Text from The Notebooks of Leonardo da Vinci: From the roots of his hair to the
bottom of his chin is 1/10 of a man’s height; from the bottom of the chin to the
top of the head is 1/8 of his height; from the top of the breast to the roots of the
hair will be the 7th part of the whole man. From the nipples to the top of the head
will be the 4th part of man. The greatest width of the shoulders contains in itself
the 4th part of man. From the elbow to the tip of the hand will be the 5th part of
a man; and from the elbow to the angle of the armpit will be the 8th part of man.
The whole hand will be the 10th part of the man. The distance from the bottom of
the chin to the nose and from the roots of the hair to the eyebrows is, in each case the same, and like the
ear, a third of the face.” Und das Pentagramm sollten Sie jetzt aber selbst finden können.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode