Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

12.4. FEHLERRECHNUNG (DESKRIPTIVE STATISTIK) 467
∂χ 2
∂b
= −2 ∑ i
(y i − ax i − b) ! = 0 .
Umschreiben der Gleichungen ergibt
∑
y i x i = a ∑ x 2 i + b ∑ x i und
i
i
i
∑
y i = a ∑
i
i
x i + b ∑ i
Daraus ergibt sich nach Division durch N: yx = ax 2 + bx und y = ax + b und damit für die
beiden gesuchten Parameter
a = xy − x y
x 2 − x 2 und b = y − ax .
Die Regressionsgerade verläuft durch den Punkt (x, y). Der Regressionskoeffizient, das ist die
Steigung der Regressionsgeraden, wird dargestellt als
a = σ xy
σx
2 mit σx 2 = 1 n∑
(x i − x) 2
n − 1
i=1
als Varianz der x-Werte in der Stichprobe (der Ausdruck ist identisch mit der Varianz in
(12.26)) und
σ xy = 1 n∑
(x i − x)(y i − y)
n − 1
als Kovarianz.
i=1
’ Kochbuch‘:
§ 1758 Eine aus n Wertepaaren (x i , y i ) bestimmte Ausgleichs- oder Regressionsgerade y =
ax + b besitzt die folgenden Eigenschaften:
• Der Regressionskoeffizient (Steigung) a der Ausgleichsgeraden und der empirische Korrelationskoeffizient
r = σ xy /(σ x σ y ) der Messpunkte sind verknüpft gemäß
a = σ xy
σx
2 = r σ y
.
σ x
• Die empirische Restvarianz
σ 2 Rest = (n − 1)(1 − r2 )σ 2 y
n − 2
ist ein Maß für die Streuung der Messpunkte um die Ausgleichsgerade. Die zugehörige
Standardabweichung σ Rest charakterisiert somit die Unsicherheit der y-Messwerte. Die empirische
Restvarianz verschwindet, wenn sämtliche Messpunkte auf der Ausgleichsgeraden
liegen, d.h. wenn r = ±1.
• Die Unsicherheiten in den Parametern a und b sind beschrieben durch die Varianz des
Regressionskoeffizienten
σ 2 a =
n n ∑
n σ 2 Rest
i=1
x 2 i − ( n∑
i=1
) 2
= (1 − r2 )σy
2
(n − 2)σx
2
x i
und die Varianz des Achsenabschnitts:
( n∑
)
x 2
σb 2 i σRest
2
i=1
=
(
∑
n n n∑
) 2
= (n − 1)σ2 x + nx 2
x 2 i − n
x i
i=1 i=1
Die zugehörigen Standardabweichungen σ a und σ b sind ein geeignetes Maß für die Unsicherheiten
der Parameter a und b.
.
σ 2 a .
1 .
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007