Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

4.4. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLEN 141
§ 558 Auch ein zylinder- oder axialsymmetrisches Feld lässt sich mit diesem Teilbild skizzieren,
allerdings nur in Ebenen senkrecht zur Zylinderachse. In diesem Feld zeigt der Feldvektor
axial nach außen oder innen und der Betrag des Feldvektors hängt nur vom Abstand ϱ von der
Symmetrieachse ab; die Äquipotentialflächen sind also koaxiale Zylinder. Das Feld lässt sich
in der Form ⃗ A(⃗r) = A(ϱ) ⃗e ϱ darstellen. Ein Beispiel ist das elektrische Feld in der Umgebung
eines homogenen geladenen Zylinders; ein beispiel für ein Skalarfeld ist das Temperaturfeld
um einen unendlich langen dünnen Heizdraht. Symmetriegerechte Koordinaten sind Zylinderkoordinaten.
§ 559 Ein Wirbelfeld, wie z.B. das Magnetfeld um einen stromdurchflossenen Draht oder das
Geschwindigkeitsfeld einer rotierenden Schallplatte, hat ebenfalls Zylindersymmetrie wie im
linken Teil von Abb. 4.9. Es lässt sich darstellen als ⃗ A = ⃗ω ×⃗r. Der konstante Vektor ⃗ω steht
senkrecht auf dem Wirbel, ist also parallel zur Drehachse. Die Feldvektoren sind Tangenten
an konzentrische Kreise um ⃗ω, ihr Betrag hängt vom Abstand ⃗r von der Drehachse ab.
Auf Grund der Zylindersymmetrie sind auch hier Zylinderkoordinaten geeignet. Eine skalare
Version eines Wirbelfeldes gibt es nicht, da der Wirbel eine Richtung voraussetzt und daher
nur in einem Vektorfeld definiert werden kann.
Zwischenrechnung 14 Warum lässt sich ein Wirbelfeld als ⃗ A = ⃗ω × ⃗r darstellen? Welche
anschauliche Bedeutung hat ⃗ω? Machen Sie sich die Lage der Vektoren anschaulich klar.
Definition Gradient
§ 560 Der Gradient ist ein aus den partiellen Ableitungen eines Skalarfeldes gebildeter Vektor,
der für jeden Punkt des Feldes die maximale lokale Steigung in Betrag und Richtung gibt.
Anwendungen sind die Darstellung des Gravitationsfeldes (elektrischen Feldes) als Gradient
eines Gravitationspotentials (elektrischen Potentials) oder des Wärmestroms in Folge eines
Temperaturgradienten. Formal erzeugt der Gradient also aus einem Skalarfeld ein Vektorfeld.
Definition 47 Der Gradient eines Skalarfeldes A(⃗r) = A(x, y, z) ist der aus den partiellen
Ableitungen 1. Ordnung von A gebildete Vektor
⎛
grad A = ∂A
∂x ⃗e x + ∂A
∂y ⃗e y + ∂A
∂z ⃗e z = ⎝ ∂A/∂x
⎞
∂A/∂y ⎠ = ∇A . (4.5)
∂A/∂z
§ 561 Das in dieser Definition verwendete Symbol ∇ ist der Nabla-Operator
⎛
∇ = ⎝ ∂/∂x
⎞
(
∂/∂y ⎠ ∂
oder ∇ =
∂x , ∂ ∂y , ∂ )
.
∂z
∂/∂z
Er kann, wenn auch in unterschiedlicher Weise, sowohl auf Skalar- als auch auf Vektorfelder
angewendet werden, siehe Kap. 10.
§ 562 Der Gradient ist eine lokale Größe: er ordnet jedem Punkt des Raumes die Richtung
und den Betrag der dort herrschenden maximalen Steigung zu. Daher kann der Gradient
in jedem Punkt des Raumes eine andere Größe annehmen. Umgekehrt ist es in der Regel
nicht möglich ein Skalarfeld durch die Angabe eines einzigen Gradienten zu charakterisieren.
Formal steckt diese ‘Lokalität’ in der Tatsache, dass der Gradient selbst wieder ein Feld ist.
§ 563 Gemäß (4.5) ist der Gradient ein Vektor, dessen Komponenten die Steigungen der
Funktion in Richtung dieser Koordinate geben. In § 116 haben wir uns formal klar gemacht,
dass die Achsenabschnitte die Projektion des Vektors auf diese Achsen bedeuten. Die in den
Komponenten des Gradienten enthaltenen Steigungen entlang einer der Koordinatenachsen
sind also die Projektionen der maximalen Steigung auf diese Achse. Daher gibt der Vektor
∇A die Richtung und den Betrag der maximalen Steigung des Feldes in jedem Raumpunkt.
Der negative Gradienten gibt damit die Richtung, in der eine Ausgleichsströmung verläuft
(Temperaturfeld) bzw. in der ein Ball den Hang hinunter rollt (Falllinie). Da der Gradient
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007