Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

282 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Tabelle 7.2: Numerische Lösung der DGL
des radioaktiven Zerfalls mit dem Leapfrog
Verfahren und einer Schrittweite von ∆t =
τ/10. Die beiden rechten Spalten geben die
Lösungen mit Hilfe eines Euler Verfahrens
mit gleicher Schrittweite bzw. die analytische
Lösung
t [s] N Leapfrog (t) N Euler (t) N analyt. (t)
0 10 000 10 000 10 000
1 9 050 9 000 9 048
2 8 190 8 100 8 187
3 7 412 7 290 7 408
4 6 708 6 561 6 703
5 6 072 5 905 6 065
6 5 496 5 314 5 488
7 4 975 4 783 4 966
8 4 504 4 305 4 493
9 4 078 3 874 4 065
10 3 693 3 487 3 679
11 3 345 3 138 3 329
12 3 030 2 824 3 012
13 2 746 2 542 2 725
14 2 489 2 288 2 466
15 2 257 2 059 2 231
16 2 047 1 853 2 019
7.9.5 Runge–Kutta Verfahren 4. Ordnung
§ 1062 Das Runge–Kutta Verfahren 4. Ordnung ist ein sehr genaues Rechenverfahren. Wie
beim Euler Verfahren wird die Lösungskurve in jedem Teilintervall ∆t durch eine Gerade
angenähert. Allerdings wird die Steigung dieser Geraden nicht am Anfang oder wie beim
Leapfrog Verfahren in der Mitte des Intervalls bestimmt sondern es wird eine mittlere Steigung
angenommen, die sich aus den Steigungen in den beiden Randpunkten und in der
Intervallmitte zusammensetzt:
mit
x(t i ) = x i = x i−1 + 1 6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 )
(
)
k 1 = ∆t f(t i−1 , x i−1 ) , k 2 = ∆t f t i− 1 , x i−1 + k1
2 2
,
(
)
k 3 = ∆t f t i− 1 , x i−1 + k2
2 2
, k 4 = ∆t f(t i−1 + ∆t, x i−1 + k 3 ) .
Dabei müssen die Wichtungsfaktoren k i für jeden Rechenschritt ∆t neu berechnet werden.
§ 1063 Der Verfahrensfehler lässt sich abschätzen als
∆x i = x(t i ) − x i ≈ 1
15 (x i − ˜x i )
mit ˜x i als der Näherungslösung an der Stelle t i bei doppelter Schrittweite ∆t.
7.9.6 Monte Carlo Verfahren
§ 1064 Der radioaktive Zerfall ist ein Musterbeispiel zur Erprobung eines Monte Carlo Verfahrens
bei der Lösung einer DGL: da der radioaktive Zerfall selbst ein stochastischer Prozess
ist, bietet sich eine Beschreibung mit stochastischen Methoden an. In der Differenzengleichung
∆N = −λN ∆t
bezeichnet λ die Zerfallswahrscheinlichkeit. Eine Monte Carlo Lösung kann also darauf basieren,
dass am Ende jedes Zeitschritts für jedes Teilchen ausgewürfelt wird ob es während
des Zeitschritts zerfallen ist oder nicht. Die Betrachtung eines einzelnen Teilchens macht
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode