Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

10.2. DIFFERENTIATION: DIVERGENZ UND ROTATION 373
Abbildung 10.3: Zur Definition des
Flusses durch eine Fläche d ⃗ S
Quellen des elektrischen Feldes ⃗ E. Auf der linken Seite steht die Divergenz dieses Feldes.
Bis auf eine Proportionalitätskonstante sind beide gleich, d.h. die Divergenz des Feldes ist
direkt mit seinen Quellen verknüpft. Daher wird die Divergenz als Maß für die Quellstärke
des Feldes interpretiert. Das mathematische Verständnis dieser Interpretation ist Ziel dieses
Abschnitts.
§ 1396 Zur Interpretation des Begriffes der Divergenz betrachten wir das Geschwindigkeitsfeld
einer strömenden Flüssigkeit
⃗v(x, y, z) = v x (x, y, z) ⃗e x + v y (x, y, z) ⃗e y + v z (x, y, z) ⃗e z .
In diesem Feld befindet sich eine Fläche S bzw. ein Flächenelement d ⃗ S. Die Orientierung
dieses Flächenelements Normaleneinheitsvektor ⃗n gegeben, d.h. durch einen senkrecht auf
dem Flächenelement stehenden Einheitsvektor (vgl. § 113). Ein Flächenelement von S ist
daher
d ⃗ S = ⃗n dS .
§ 1397 Der Fluss Φ ist das Volumen der Flüssigkeit, das pro Zeiteinheit durch S fließt. 1 Dieses
wird maximal, wenn die Fläche senkrecht in der Strömung steht (⃗v‖⃗n), und verschwindet,
wenn die Fläche parallel zur Strömung liegt. Für die Komponente der Strömung senkrecht
zur Fläche gilt daher ⃗v ⊥ = (⃗v ·⃗n) ⃗n, für die Komponente parallel dazu ⃗v ‖ = ⃗v − (⃗v ·⃗n) ⃗n. Zum
Fluss Φ durch die Fläche trägt nur die Strömung senkrecht zu dieser bei:
∫
∫
Φ = (⃗v · ⃗n) dS = ⃗v · dS ⃗ . (10.2)
Auf Grund dieser Definition ist der Fluss Vorzeichen behaftet: hat die Flüssigkeit, wie im
Beispiel in Abb. 10.3, eine Geschwindigkeitskomponente in Richtung von ⃗n, so ist das Skalarprodukt
und damit der Fluss positiv. Hat die Flüssigkeit dagegen eine Geschwindigkeiskomponente
antiparallel zu ⃗n, d.h. würde sie in Abb. 10.3 nicht von links nach rechts sondern
von rechts nach links strömen, so wird das Skalarprodukt und damit der Fluss negativ.
§ 1398 Das zweite Integral in (10.2) beschreibt ein (Ober-)Flächenintegral, auf seine Auswertung
werden wir in Abschn. 10.3.3 eingehen. Die Definition (10.2) kann auf beliebige
Vektorfelder ausgedehnt werden, den elektrischen und magnetischen Fluss werden wir in
Abschn. 10.3.2 genauer betrachten – die Schreibweise in (10.2 gibt uns jedoch bereits den
Hinweis, dass wir auch dieses Integral durch Parametrisierung der Fläche in ein gewöhnliches
Integral überführen können.
§ 1399 Die anschaulichen Interpretation des Flusses
Φ = ∆V
∆t = ∑ ∆S ⊥ v∆t
= ∑ ∆S ⊥ v
∆t
ist im rechten Teil von Abb. 10.3 gegeben: das pro Zeiteinheit durch ∆S ⊥ strömende Volumen
können wir uns als die Verschiebung eines Flüssigkeitselements vorstellen. Dieses wird
1 Der Fluss im physikalischen Sinne ist nicht auf eine materielle Strömung beschränkt sondern wird formal
auf andere Vektorfelder ausgedehnt. Die ersten Beispiele, die Ihnen in der Physik (und auch in dieser Vorlesung)
begegnen werden, sind der elektrische und der magnetische Fluss; anschaulich häufig beschrieben als
die Zahl der durch die Fläche ⃗ S gehenden Feldlinien – ohne Berücksichtigung der Tatsache, dass Felldlinien
fiktive Gebilde sind und deren Zahl eh vom Zeichenmaßstab abhängt.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007