Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

5.5. NUMERISCHE INTEGRATION IN MATLAB 195
von Abb. 5.14 statistisch im Zahlenraum verteilt. Sind sie dagegen abhängig, so zeigt sich
ein Muster, vgl. linkes Teilbild: der Zufallszahlengenerator wiederholt sich.
§ 762 MatLab stellt drei verschiedene Modi des Zufallszahlengenerators zu Verfügung, beschrieben
in der Funktion rand.m im MatLab-Verzeichnis .\toolbox\matlab\elmat). Das
linke Teilbild in Abb. 5.14 wurde mit dem Standard-Zufallszahlengenerator erzeugt, für das
rechte Teilbild wurde die ältere Version des Zufallsgenerators aus MatLab 4 und früher
verwendet.
Kontrollfragen
Kontrollfrage 18 Geben Sie verschiedenen Interprettaionsmöglichkeiten für das Integral
und das mehrfachintegral. Macht der Begriff der Stammfunktion auch bei Mehrfachintegralen
Sinn? Erläutern Sie ihre Antwort.
Kontrollfrage 19 Erläutern Sie die gängigen Verfahren zur Integration. Setzen Sie diese zu
Differentiationsmethoden in Beziehung. Geben Sie Beispiele.
Kontrollfrage 20 Erläutern Sie die Integration vektorwertiger Funktionen. Welche Formen
der Integration gibt es und warum? Welche Probleme treten auf?
Kontrollfrage 21 Erläutern Sie die Grundidee der numerischen Integration und ihren Bezug
zur Definition des Integrals. Beschreiben Sie einfache Verfahren der numerischen Integration
(Skizze).
Fragen
Frage 51 Erläutern Sie anschaulich die Bedeutung der Integrationskonstanten im unbestimmten
Integral.
Frage 52 Leiten Sie die Regel für die Integration mit Substitution her. Mit welcher Regel
der Differentiation hängt die Substitutionsmethode der Integration direkt zusammen?
Frage 53 Leiten Sie sich die Regel für die partielle Integration her. Mit welcher Regel der
Differentiation hängt die partielle Integration direkt zusammen?
Frage 54 Hängt eine Funktion nur von einer Variablen ab, f(x), so wird das bestimmte
Integral anschaulich als die Fläche zwischen der x-Achse und dem Funktionsgraphen interpretiert.
Welche geometrische Interpretation haben die Integrale von Funktionen von zwei
Variablen, f(x, y), oder von drei Variablen, f(x, y, z).
Frage 55 Skizzieren Sie an einem Beispiel, wie und warum bei der Flächenbestimmung
im Doppelintegral die Integrationsgrenzen in einer Variablen von der anderen Variablen
abhängen können. Können beim Dreifachintegral die Integrationsgrenzen in der einen Variablen
auch von den beiden anderen Variablen abhängen?
Frage 56 Das Volumen einer Kugel ist mit Hilfe eines Dreifachintegrals in kartesischen Koordinaten
zu bestimmen. Geben Sie die Integrationsgrenzen an.
Frage 57 Geben Sie Anwendungsbeispiele für Mehrfachintegrale in der Physik.
Frage 58 Begründen Sie, warum vektorwertige Funktionen komponentenweise integriert
werden können.
Frage 59 Das bestimmte Doppelintegral V = ∫∫ f(x, y) dx dy kann anschaulich als das Volumen
zwischen der xy-Ebene und dem Funktionsgraphen interpretiert werden. Warum gibt
das Doppelintegral A = ∫ dA = ∫∫ dx dy eine Fläche, während erst das Dreifachintegral
V = ∫ dV = ∫∫∫ dx dy dz ein Volumen gibt?
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007