Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

22 KAPITEL 1. VEKTOREN
Abbildung 1.12: Projektion
eines Vektors
auf einen anderen
gebildet wird, siehe Abb. 1.11. Dabei wird die Gegenkathete des Winkels als die Höhe des
Parallelgramms interpretiert. Für die Ankathete gibt es ebenfalls eine geometrische Interpretation,
siehe Abb. 1.12: sie gibt den Betrag der Projektion des Vektors ⃗ b auf den Vektor
⃗a
| ⃗ b ⃗a | = | ⃗ ⃗a ·⃗b
b| cos α = .
|⃗a|
Diese Projektion ist in Richtung ⃗a gerichtet, d.h. aus dem Betrag der Projektion lässt sich
ein projizierter Vektor konstruieren mit Betrag | ⃗ b ⃗a | und Richtung ⃗e ⃗a :
⃗ b⃗a = | ⃗ b ⃗a | ⃗e ⃗a =
⃗a ·⃗b
|⃗a|
⃗a
|⃗a|
⃗a ·⃗b ⃗a ·⃗b
= ⃗a = ⃗a . (1.10)
|⃗a|
2
⃗a · ⃗a
Wir werden diesen Punkt bei den physikalischen Anwendungen nochmals aufgreifen: die
Arbeit ist das Produkt aus Weg und Kraft entlang dieses Weges, d.h. der Projektion der
Kraft auf den Weg. Das Skalarprodukt ist daher für die Bestimmung der Arbeit hilfreich,
siehe § 122.
§ 116 Eine triviale Möglichkeit, sich von der Anwendbarkeit des Skalarprodukts zur Projektion
zu überzeugen, besteht darin, einen Vektor ⃗r = (r x , r y , r z ) auf die Koordinatenachsen
zur projizieren. Anschaulich sollten die einzelnen Projektionen jeweils die Komponenten des
Vektors entlang dieser Achse geben. Die Koordinatenachsen sind durch die entsprechenden
Einheitsvektoren ⃗e x , ⃗e y und ⃗e z gegeben; da es sich hierbei bereits um Einheitsvektoren, d.h.
|⃗e i | = 1, handelt, ist die Projektion einfach. Für die x-Komponente erhalten wir
⃗r ⃗ex
= ⃗e x · ⃗r
|⃗e x | 2 ⃗e x =
⎛
⎝ 1 0
0
⎞
⎠ ·
⎛
⎝ r ⎞
x
r y
⎠ ⃗e x = r x ⃗e x .
r z
Entsprechend lassen sich die Projektionen auf die anderen Koordinatenachsen bestimmen.
Die allgemeine Darstellung lässt sich schreiben als
⃗r ⃗ei
= ⃗e i · ⃗r
|⃗e i | 2 ⃗e i = r i ⃗e i .
Der Vektor lässt sich damit als die Summe seiner Projektionen auf die Einheitsvektoren
darstellen:
3∑ 3∑
⃗r = ⃗r ⃗ei = r i ⃗e i .
i=1
i=1
§ 117 Obiges Beispiel ist trivial. Es ist wichtig, da es Ihnen einen ersten Blick auf die Transformation
von einem in ein anderes Koordinatensystem erlaubt. Der Vektor ⃗r ist in kartesischen
Koordinaten im System der Basisvektoren ⃗e i gegeben. Ein zweites Koordinatensystem,
z.B. um den Ursprung gedreht, lässt sich mit Hilfe der Basisvektoren ⃗e i
′
aufspannen. Die
Komponenten von ⃗r in diesem neuen Koordinatensystem erhalten wir durch Projektion auf
die neuen Basisvektoren (siehe auch § 160 oder Abschn. 8.4.2).
§ 118 Der Vektor ⃗r = (5, 5) weist in einem konventionellen kartesischen Koordinatensystem
mit ⃗e x = (1, 0) und ⃗e y = (0, 1) entlang der Winkelhalbierenden. Betrachten wir ein um π/4
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode