Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

Kapitel 4
Differentialrechnung
Es ist eine erschütternde Vorstellung für mich, dass Männer
wie Plato, Galilei oder Kant bereit gewesen sein dürften,
Lebensjahre für das Wissen herzugeben, das jedem von uns
heute unverdient in den Schoß fällt und das die wenigsten
richtig zu würdigen wissen (sofern sie es überhaupt zu
Kenntnis nehmen)!
H. v. Ditfurth
§ 471 Mit Hilfe der Differentialrechnung lässt sich eine Funktion genauer als nur in der graphischen
Darstellung beschreiben; so gibt die Ableitung einer Funktion ihre Steigung, die
Nullstellen der Ableitung die lokalen Maxima und Minima oder Wendepunkte. Die Grundbegriffe
und Rechenregeln der Differentialrechnung werden an Hand von Funktionen einer
Variablen wiederholt. 1 Anschließend werden die Verfahren und Begriffe auf Funktionen mehrerer
Variablen erweitert. Die wichtigsten neuen Begriffe sind die partielle Ableitung und das
totale Differential sowie der Gradient. Auch die Erweiterung der Grundregeln der Differentiation
auf vektorwertige Funktionen wird in diesem Kapitel diskutiert.
§ 472 Mathematisch ist in diesem Kapitel von Bedeutung die Anwendung der in Kap. 3
eingeführten Grundbegriffe, insbesondere des Grenzwerts und der Stetigkeit. Dieses (und
das folgende) Kapitel unterscheiden sich von den anderen Kapiteln des Skriptes insofern,
als dass es keine Trennung zwischen eher Anwendungsorientierten und eher mathematischen
Abschnitten gibt, da beide Kapitel auf Schulstoff basieren und nur die jeweilige Erweiterung
auf vektorwertige Funktionen und Funktionen mehrerer Variablen neue Aspekte einführt –
die aber, wie aus den Diskussionen in Abschn. 3.2.4 und 3.6 bereits zu vermuten, direkte
Erweiterungen der bereits bekannten Konzepte sind.
§ 473 Qualifikationsziele: nach Durcharbeiten dieses Kapitels sollen Sie in der Lage sein
• die Grundbegriffe der Differentialrechnung mathematisch sinnvoll zu erläutern und anzuwenden,
• Funktionen mehrerer Variablen unter Verwendung der üblichen Rechenregeln zu differenzieren
und aus den Ableitungen den Gradienten und das totale Differential zu bilden,
• vektorwertige Funktionen zu differenzieren.
1 Die Wiederholung ist zwar vollständig, jedoch werden keine Beispiele für die Differentiationsregeln gegeben.
Falls Sie ihren technischen Fähigkeiten beim Differenzieren nicht trauen oder diese etwas angestaubt
sind, sollten Sie Abschn. C.2.2 durcharbeiten.
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