Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

C.2. ELEMENTARES DIFFERENZIEREN 523
Der Stein erreicht seine maximale Flughöhe von 55 m über dem Boden (bzw. 5 m
über der Abwurfstelle) damit 1 Sekunde nach dem Abwurf.
✷
C.2.2
Wie?
§ 1869 Effizientes Differenzieren setzt zwei Fertigkeiten voraus: (a) die Kenntnis der Ableitungen
einiger wichtiger Funktionen (Potenzen, Exponentialfunktion, Logarithmus, Sinus
und Kosinus), sowie (b) die Kenntnis von Grundregeln (Summenregel, Produktregel, Kettenregel),
die es erlaubt, die Ableitung einer komplizierteren Funktion so zu zerlegen, dass sie
mit Hilfe der ‘Grundableitungen’ bestimmt werden kann.
Ableitungen elementarer Funktionen
§ 1870 In Beispiel 11 haben wir bereits einmal abgeleitet, und zwar einen Ausdruck, der
aus eine Summe von Potenzen bestand. Das Repertoire an grundlegenden Funktionen in der
Physik ist relativ begrenzt, daher ist auch die Zahl der Ableitungsregeln, die es sich zu merken
gilt, eingeschränkt:
1. Potenzen: eine Potenz wird abgeleitet, in dem man den Exponenten um Eins erniedrigt
und als Vorfaktor vor die Potenz schreibt:
d
dx xn = n · x n−1 .
Eine Konstante c kann geschrieben werden als cx 0 , da x 0 = 1. Anwenden dieser Ableitungsregel
liefert
d
dx c = d
dx (cx0 ) = 0 · cx −1 = 0 ,
d.h. eine Konstante fällt beim Ableiten weg. 1
2. die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus werden beim Ableiten ineinander überführt,
allerdings muss bei der Ableitung des Kosinus ein Minus berücksichtigt werden:
d
dx sin(x) = cos(x) und d
cos(x) = − sin(x) .
dx
3. die Ableitung des Tangens kann man sich merken oder mit Hilfe der Produktregel aus
denen für Sinus und Kosinus herleiten (letzteres werden wir in Bsp. C.2 tun):
d
dx tan(x) = 1
cos 2 (x) = 1 + tan2 (x) .
4. die Ableitung der Exponentialfunktion ist wieder die Exponentialfunktion:
d
dx en = e n .
5. die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist 1/x:
d
dx ln(x) = 1 x .
§ 1871 Die Kenntnis der Ableitungen dieser elementaren Funktionen ist schon fast ausreichend
für das Differenzieren in der Physik. Das Problem liegt jedoch darin, dass wir es häufig
nicht mit der Funktion sin(x) zu tun haben sondern eine Funktion der Form sin(ax + b) zu
differenzieren ist. Dies ist eine Funktion, deren Argument ax + b selbst wieder eine Funktion
ist, d.h. die Funktion einer Funktion. Dann müssen wir die Kettenregel anwenden. Außer der
Kettenregel gibt es noch einige weitere Grundregeln des Differenzierens. Diese fassen wir hier
erst zusammen, anschließend werden wir Beispiele betrachten.
1 Dies ist eine formale Argumentation. Sie können auch anschaulich argumentieren: eine Konstante liefert
eine waagerechte Gerade. Und deren Steigung ist Null, also muss auch die Ableitung verschwinden.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007