Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

12.2. VERTEILUNGSFUNKTIONEN 443
Abbildung 12.3:
Wahrscheinlichkeitsverteilung
f(x) (oben) und zugehörige
Verteilungsfunktion F (x) (unten)
am Beispiel einer diskreten
Verteilung mit 6 gleich wahrscheinlichen
Versuchausgängen
(z.B. Würfeln)
oder durch die zugehörige Verteilungsfunktion
F (x) = P (X ≤ x) = ∑ x i≤x
f(x i )
vollständig beschreiben. Dabei ist p i die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X den
Wert x i annimmt. Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt f(x i ) ≥ 0, da es keine negativen
Wahrscheinlichkeiten gibt, und Σ f(x i ) = 1, d.h. f(x) ist normiert.
§ 1655 Beim Würfeln mit einem Würfel ergibt sich eine Wahrscheinlichkeitsfunktion
f(x) = 1 6
x = 1, 2, ...6 .
Die zugehörige Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X ist
F (x) = P (X ≤ x) = x 6
x = 0, 1, 2, ...6 .
Beide sind in Abb. 12.3 dargestellt. Die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zwischen 3 und 5 zu
würfeln ist dann gemäß (12.6)
P (2 < x ≤ 5) = F (5) − F (2) = 5 6 − 2 6 = 1 2 ,
was sich auch durch Auszählen der günstigen Ereignisse (A = {3, 4, 5}) ergibt.
§ 1656 In der Wahrscheinlichkeitsverteilung in Abb. 12.3 sind alle Elementarereignisse gleich
wahrscheinlich. Elementarereignisse mit unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten sind z.B. die
Buchstaben der deutschen Sprache. Das Leerzeichen zählt dabei zu den Buchstaben, weil es
als Trennzeichen zwischen den nächstgrößeren Einheiten der Sprache, den Wörtern, dient.
§ 1657 Diese Elementarereignisse sind nicht wie beim Würfeln oder bei der Ziehung der
Lottozahlen numerisch angeordnet. Daher muss für die Dichte- und Verteilungsfunktion zuerst
eine Ordnung gefunden werden. Die Anordnung im Alphabet würde eine unsystematisch
schwankende Dichtefunktion liefern. Ob dies sinnvoll ist, hängt von der Fragestellung ab:
Fragen wir, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein zufällig aus einem Text heraus gegriffener
Buchstabe zu den fünf ersten Buchstaben des Alphabets gehört, so kann die Antwort anhand
der alphabetisch geordneten Verteilungsfunktion gegeben werden. Eine alternative Anordnung
gibt Tabelle 12.1. Hier sind die Buchstaben in der Häufigkeit ihres Auftretens angeordnet.
1 Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion f sowie die zugehörige Verteilungsfunktion
1 Häufigkeitsverteilungen spielen auch in der Veschlüsselung eine Rolle. Bei der Caesarischen Codierung
wird einem Buchstaben des Alphabets ein anderer zugeordnet, z.B. dadurch, dass man jeweils den n Plätze
weiter links im Alphabet stehenden Buchstaben verwendet. Alternativ kann man auch einem Buchstaben
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007