Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

288 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Abbildung 7.22: Numerische Lösung
der gewöhnlichen Differentialgleichung
tẋ − x = t 2 + 4 mit Hilfe des
Euler’schen Streckenzugverfahrens
(oben) und relativer Fehler des
Verfahrens (unten)
Euler Vorwärts
eulerskript
length
§ 1088 Die numerische Lösung dieser DGL erfolgt durch wiederholtes Durchlaufen einer
Schleife, d.h. wir finden endlich wieder ein Betätigungsfeld für eine for-Schleife. Das Verfahren
ist im Skript 12 eulerskript gegeben, die für die Numerik entscheidenden Schritte sind
die Festlegung der Parameter sowie die anschließende Schleife:
fh=@(t,x) (t. ∧ 2+4+x)/t; tl=1.; tr=5.; dt=0.2; x=[tl:dt:tr]; x(1)=2;
for i=2:length(t);
x(i)=x(i-1) + dt*feval(fh,t(i-1),x(i-1));
end
In der ersten Zeile wird die Funktion einem Handle fh zugewiesen, der später an feval
übergeben wird. Außerdem werden die Grenzen tl und tr des Integrationsintervalls sowie
die Schrittweite dt festgelegt. daraus wird der Vektor x der x-Achse bestimmt. Außerdem ist
der Anfangswert x(1 vorgegeben. Das eigentliche numerische Verfahren ist in den drei Zeilen
darunter enthalten: sie enthalten die zu durchlaufende Schleife, wobei diese bei 2 beginnt (der
Anfangswert ist ja bereits gesetzt) und insgesamt die gleiche Länge haben muss wie der Vektor
in x; daher ist das Ende der Zählschleife durch die Länge length von x gegeben. 13 Die Zeile
in der Zählschleife ist nur eine Umsetzung von (7.51) in die Terminologie von MatLab. Der
numerisch bestimmte Funktionsverlauf ist im oberen Teil von Abb. 7.22 zusammen mit der
analytischen Lösung gezeigt: die numerische Lösung reproduziert den Verlauf der analytischen
Lösung selbst bei dieser relativ geringen Zahl von 20 Integrationsschritten bereits recht genau.
Allerdings erkennen wir auch eine Eigenart aller numerischen Verfahren: die Abweichungen
von der analytischen Lösungen nehmen mit zunehmender Zeit zu.
§ 1089 Eine Möglichkeit, die Qualität des Lösungsverfahrens zu überprüfen, ist die Bildung
von Residuen
d = x num − x analytisch
als absoluten Abweichungen der numerischen Lösung von der analytischen oder der relativen
Residuen
d rel = x num − x analytisch
x analytisch
.
12 Alle Skripte sind in Anh. B.6.3 gegeben und unte rstud.ip zu finden.
13 Im Prinzip können wir auch die Zahl der Schritte ausrechnen gemäß n = (x 2 − x 1 )/∆x und dieses n als
Grenze in der for-Schleife verwenden. Dabei gehen wir allerdings das Risiko von Rundungsfehlern ein. Mit
der Verwendung von length(x) dagegen wird in jedem Fall ein Vektor von y-Werten erstellt, der die gleiche
Länge hat wie der Vektor der x-Werte.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode