Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

5.5. NUMERISCHE INTEGRATION IN MATLAB 189
Abbildung 5.8: GUI numint zur numerischen
Integration
§ 740 Das GUI besteht aus dem eigentlichen Skript numint, einer Routine setintegration,
die für den Plot und die Zuordnung zu den verschiedenen Integrationsverfahren erforderlich
ist, sowie den Funktionen mittelgui, trapezgui und simpsongui, die jeweils die numerischen
Verfahren ausführen. Diese Funktionen unterscheiden sich von den weiter oben
eingeführten Funktionen nur durch die Art und Weise, in der die mathematische Funktion
übergeben wird (Handle vs. String) und damit wie sie ausgewertet wird (feval vs. eval). Alle
Funktionen sind in Abschn. B.6.4 gegeben sowie in elektronischer Form auch unter stud.ip.
5.5.7 Numerische Integration von Messwerten
§ 741 Die bisher betrachteten numerischen Verfahren sind geeignet Funktionen in expliziter
Darstellung zu integrieren, d.h. wir gehen von Funktionen der Art s(t) = vt oder y = sin x
aus. Definitions- und Wertebereich in dieser klassischen Vorstellung sind kontinuierlich. Bei
einer Messung dagegen erhalten wir nur diskrete Werte, z.B. eine Zeitreihe der Momentangeschwindigkeit
v(t). Den zurück gelegten Weg erhalten wir bei einer kontinuierlichen Funktion
durch Integration als s = ∫ v(t) dt. Ist die Funktion nur an diskreten Stellen bekannt, so
ergibt sich der Weg durch Summation
s = ∑ v(t) ∆t .
§ 742 Die Messwerte liegen als zwei Vektoren vor: time enthält die Zeitpunkte an denen die
in speed gespeicherten Geschwindigkeiten gemessen wurden. Welche Möglichkeiten haben
wir, den zurück gelegten Weg im Eigenbau in MatLab zu bestimmen? In § 624 haben wir
die Funktion diff kennen gelernt. Mit ihrer Hilfe können wir die Breiten der Integrationsintervalle
bestimmen zu dt = diff(time). Die Geschwindigkeiten nehmen wir jeweils in der
Mitte eines Zeitintervalls als Mittelwert aus den Geschwindigkeiten an den Rändern des entsprechenden
Intervalls: vmittel = speed(1:length(speed)-1) + 0.5*diff(speed). Dieses
Verfahren entspricht der Trapezmethode der numerischen Integration. Beide Vektoren
werden anschließend komponentenweise multipliziert, die Produkte werden addiert. Insgesamt
erhalten wir damit als Fragment für die numerische Integration unserer Messwerte
>> dt = diff(time); vmittel = speed(1:length(speed)-1) + 0.5*diff(speed) ←↪
>> s = sum(vmittel.*dt) ←↪
Die letzte Zeile hätte auch kürzer als Skalarprodukt s = dot(vmittel,dt) geschrieben werden
können.
§ 743 MatLab offeriert für diese Übung auch eine fertige Funktion trapz. Dieser Funktion trapz
werden die beiden Vektoren der Messwerte übergeben: s = trapz(time,speed). Ein Blick in
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007