Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

8.2. RECHENTECHNIK 325
§ 1218 Für einige spezielle Matrizen gibt es Faustregeln: eine symmetrische n-reihige Matrix
hat reelle Eigenwerte, ihre n linear unabhängigen Eigenvektoren sind orthogonal. Eine
hermitesche n-reihige Matrix hat ebenfalls n reelle Eigenwerte und n linear unabhängige Eigenvektoren,
wobei zu jedem einfachen Eigenwert genau ein linear unabhängiger Eigenvektor
gehört, zu jedem k-fachen Eigenwert dagegen stets k linear unabhängige Eigenvektoren. Hermitesche
und symmetrische Matrizen haben daher die Besonderheit, dass ihre Eigenvektoren
selbst dann linear unabhängig sind wenn nicht alle Eigenwerte unterschiedlich sind.
Zwischenrechnung 48 Begründen Sie (zumindest für n = 2 und n = 3) formal, warum
eine symmetrische n-reihige Matrix reelle Eigenwerte hat und die zugehörigen Eigenvektoren
linear unabhängig und orthogonal sind.
§ 1219 Betrachten wir ein weiteres Beispiel. Die Eigenwerte der Matrix
( )
1 2
A =
2 1
lassen sich mit Hilfe von (8.10) bestimmen gemäß
|A − λE| =
∣ 1 − λ 2
2 1 − λ ∣ = (1 − λ)2 − 4 = ! 0 .
Daraus erhalten wir λ 1,2 = 1±2, die Matrix hat also zwei verschiedene Eigenwerte und damit
auch zwei verschiedene Eigenvektoren. Für den Eigenwert λ 1 = 3 erhalten wir mit (8.9) als
Bestimmungsgleichung für den Eigenvektor
(
−2 2
2 −2
) ( )
x1,1
x 1,2
!
=
(
0
0
)
und damit x 1,2 = x 1,1 . Der zugehörige Eigenvektor ⃗x 1 ist z.B.
( )
1
⃗x 1 = oder normiert ⃗e
1 1 = √ 1 ( )
1
. 2 1
Für den Eigenvektor zum zweiten Eigenwert, λ 2 = −1, ergibt sich
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 x2,1 2x2,1 + 2x
=
2,2 0
= ,
2 2 x 2,2 2x 2,1 + 2x 2,2 0
also x 2,1 = −x 2,2 und damit
( )
1
⃗x 2 =
bzw. ⃗e
−1 2 = √ 1 ( )
1
. 2 −1
Die Eigenvektoren sind linear unabhängig (⃗e 1·⃗e 2 =0), wie für Eigenvektoren zu verschiedenen
Eigenwerten gefordert. Die Determinante det A ergibt sich zu −3, das ist auch das Produkt
der Eigenwerte λ 1 λ 2 ; die Spur der Matrix ist mit 2 gleich der Summe der Eigenwerte.
§ 1220 Zwei Eigenschaften von Eigenwerten und -vektoren kann man sich bei ihrer Überprüfung
zu Nutze machen:
• die Spur der Matrix A ist gleich der Summe aller Eigenwerte:
SpA = ∑ a ii = ∑ λ i .
• die Determinante von A ist gleich dem Produkt aller Eigenwerte:
detA = ∏ λ i .
Daher sind die Eigenwerte einer n-reihigen Diagonal- bzw. Dreiecksmatrix A identisch mit
den Hauptdiagonalelementen.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007