Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.10. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IN MATLAB 289
Das Ergebnis ist im unteren Teil von Abb. 7.22 gezeigt: der relative Fehler ist anfangs sehr
gering und nimmt mit zunehmender Zeit zu, zum Ende des Integrationsintervalls ist er aber
immer noch kleiner als 4%. 14
Zwischenrechnung 45 Die Veränderung des Fehlers mit der Schrittweite können Sie durch
Variation von dt in eulerskript untersuchen. Tun Sie es.
§ 1090 Die Funktion eulervorwaerts basiert auf dem Skript eulerskript, jedoch abge- eulervorwaerts
speckt um den Vergleich mit der analytischen Funktion. Mit Hilfe dieser Funktion können
Sie beliebige Differentialgleichungen mit der Euler Vorwärts Methode numerisch integrieren
ohne wie in eulerskript die mathematische Funktion ẋ jedes mal in dem m-File vereinbaren
zu müssen. Eingabeparameter sind wieder die mathematische Funktion, die Grenzen
des Integrationsintervalls, die Schrittweite sowie der Anfangswert. Die Ausgabe erfolgt graphisch,
außerdem werden die Werte der Stützstellen und die Funktionswerte an diesen zurück
gegeben als Vektoren T und X. Vor dem Funktionsaufruf müssen die Eingabeparameter im
Kommandofenster oder einem Skript vereinbart sein, z.B. in der Form
>> a=1;b=5;dt=0.2;f= @(t,x) (x. ∧ 2+4+y)./x;x0=2; ←↪
>> [T,X]=eulervorwaerts(f,a,b,dx,x0);
Euler Rückwärts
§ 1091 Alternativ können wir in einem Euler Verfahren die Steigung am Ende des Integrationsintervalls
verwenden,
x(t i+1 ) = x(t i ) + ∆t f(t i+1 , x i+1 ) mit x(t 0 ) = x 0 und t i = t 0 + i ∆x .
Dieses Verfahren wird als Rückwärts-Methode bezeichnet. Im Gegensatz zum Vorwärts-
Verfahren hängt der Wert x(t i+1 ) nicht nur vom vorher bestimmten Wert x(t i ) ab sondern
über f(t i+1 , x i+1 ) auch vom zu bestimmenden Wert.
§ 1092 Das implizite Euler-Verfahren konfrontiert uns mit dem Problem, dass der zu bestimmende
Wert x(t i+1 ) zu seiner Bestimmung benötigt wird. Daher muss eine Annäherung
an x(t i+1 ) vorgenommen werden bevor dieser Wert überhaupt bestimmt werden kann. Dazu
wählen wir ein näherungsweises Verfahren. Dieses erfolgt in zwei Schritten:
1. im Prädikatorschritt wird der Wert an der Stelle i+1 entsprechend dem Vorwärtsverfahren
berechnet:
x P (t i+1 ) = x(t i ) + ∆t f(t i , x i ) .
2. im Korrektorschritt wird dieser Wert zur Bestimmung der Steigung verwendet und damit
der eigentlich gesuchte Wert an der Stelle i + 1 bestimmt:
x(t i+1 ) = x(t i ) + ∆t f(t i+1 , x P i+1) .
Dieses Verfahren wird auch als modifiziertes Euler Verfahren bezeichnet. Es ist im Skript
eulerrueckskript im Vergleich zum Vorwärts-Verfahren und zur analytischen Lösung angegeben.
Im Skript ist ein neuer Vektor xr für die Lösungen des Rückwärts Verfahrens erzeugt
sowie ein Vektor xp, der die Elemente des Prädikatorschritts enthält. Das eigentliche
Verfahren ist in der Schleife
14 Für die Definition der Residuen gibt es zwei Möglichkeiten: die in den Gleichungen angegebene oder
der Betrag davon. Die Verwendung der vorzeichenbehafteten Residuen hat den Vorteil, dass man leichter
erkennen kann, ob Verfahren systematisch zu große oder zu kleine Werte liefern. Allerdings wird dadurch der
Vergleich verschiedener Verfahren erschwert, wenn einige Verfahren zu kleine, andere zu große Werte liefern.
In diesem Fall ist die Verwendung der Beträge der Residuen sinnvoll. Die Residuen in Abb. 7.22 hätten in
einer Darstellung mit Hilfe der Beträge ebenfalls einen Vorteil: in der Darstellung der Vorzeichenbehafteten
Werte kann, da alle Werte negativ sind, leicht der falsche Eindruck entstehen, dass die Abweichungen mit
zunehmender Zeit kleiner und nicht größer werden. Aber nochmals: beide Verfahren sind valide Möglichkeiten
der Fehlerabschätzung. Welches Verfahren wann sinnvoller ist, hängt von Ihrer genauen Fragestellung ab, d.h.
Sie müssen es von Fall zu Fall entscheiden.
eulerrueckskript
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007