Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.7. MATHEMATISCHE ERGÄNZUNG 259
§ 981 Das Ziel dieses Abschnitts ist, sie auf die Existenz dieser Funktionen hinzuweisen,
eine Erläuterung für ihre Definition zu bieten und grobe Vorstellungen über ihren Verlauf
zu liefern. Sie sollen nicht unbedingt in die Lage versetzt werden, die die Bessel Funktionen
definierende DGL selbst zu lösen. Sie sollten aber in der Lage sein, eine solche DGL zu
erkennen und dann mit Hilfe von z.B. MatLab mit den Bessel Funktionen zu arbeiten. Das
Anwendungsbeispiel der schwingenden Kreismembran (Trommelfell) wird in Abschn. 11.3.4
betrachtet.
7.7.4 DGL zur Definition von Polynomen: Legendre Polynome
§ 982 Legendre Polynome sind in vielen geophysikalischen Fragestellung von Interesse: sie
erlauben die Beschreibung von Abweichungen von einer Kugeloberfläche. Dazu gehören die
Oszillationen der Sonne ebenso wie die Abweichung des Schwerefeldes der Erde von der
Kugelsymmetrie. In Abschn. 11.3.5 werden wir ihnen bei der Betrachtung einer schwingenden
Kugelfläche nochmals begegnen.
§ 983 Die die Polynome definierende Legendre Differentialgleichung ist gegeben als
(1 − t 2 )ẍ(t) − 2tẋ(t) + α(α + 1)x(t) = 0 . (7.31)
Diese Gleichung hat in Normalform (7.26) die Koeffizienten
p(t) =
2t
α(α + 1)
1 − t 2 und q(t) =
(1 − t 2 ) .
Diese haben Singularitäten bei t 1,2 = ±1, die Lösung konvergiert auf jeden Fall für |t| < 1,
möglicherweise auch für größere t. Uns wird nur das Intervall (-1,+1) interessieren: ein Wert
von t = 1 entspricht einem cos ϑ = 1 und damit ϑ = 0. Das ist der Nordpol in einem
sphärischen Koordinatensystem. Für t = −1 erhalten wir ϑ = π und damit den Südpol des
Koordinatensystems.
§ 984 Zur Lösung der DGL machen wir wieder einen Potenzreihen-Ansatz
∞∑
x(t) = a n t n
n=0
und erhalten zwei linear unabhängige Lösungen
∞∑
∞∑
x 1 (t) = α 2n t 2n und x 2 (t) = a 2n+1 t 2n+1 (7.32)
mit
und
n=0
n α(α − 2) . . . (a − 2n + 2)(α + 1)(α + 3) . . . (α + 2n − 1)
a 2n = (−1) a 0
(2n)!
n (α − 1)(α − 3) . . . (α − 2n + 1)(α − 2)(α + 4) . . . (α + 2n)
a 2n+1 = (−1) a 1 .
(2n + 1)!
n=0
Für beliebige Werte von α divergieren diese Folgen bei t = ±1; ist jedoch α = 0 oder positiv
ganzzahlig, so gibt es eine Lösung für die Legendre Differentialgleichung in Form der Legendre
Polynome
P n (t) = 1 ∑
∞ (−1) k (2m − 2k)!
2 n k!(n − k)!(n − 2k)! tn−2k
k=0
oder explizit für die ersten Ordnungen
P 0 (t) = 1 ,
P 1 (t) = t ,
P 2 (t) = 1 2 (3t2 − 1)
P 3 (t) = 1 2 (5t3 − 3t) .
und
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007