Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

5.1. MOTIVATION 165
Abbildung 5.1: Geschwindigkeits–
Zeit-Diagramm: der vom Körper
in einem Zeitintervall zurück gelegte
Weg wird durch die Fläche
unter der Funktion v(t) bestimmt,
ergibt sich also durch Integration:
s = ∫ v dt
§ 642 Dieses Problem spiegelt sich noch heute in den beiden Möglichkeiten wieder, die Integration
einzuführen. Eine Motivation ist die bereits erwähnte Flächenbestimmung, d.h. die
Ermittlung des bestimmten Integrals. Die Motivation von Newton und Leibniz dagegen war
eine andere: diese wollten aus der bekannten Änderung einer Funktion, eben der Ableitung,
die Funktion selbst bestimmen. Bei diesem unbestimmten Integral wird zu einer gegebenen
Funktion eine Stammfunktion gesucht, deren Ableitung eben diese gegebene Funktion ist.
§ 643 Diese zweite Interpretation hat vielfältige physikalische Anwendungen. So wird oftmals
nicht die interessierende Größe beobachtet sondern nur deren Änderung: beim Zerfall einer
radioaktiven Substanz werden die entstehenden α-Teilchen nachgewiesen. Jeder zerfallende
Kern emittiert ein α-Teilchen, d.h. die Zählrate der α-Teilchen ist ein Maß dafür, wie sich
die Zahl der Kerne innerhalb der Substanz verändert. Nehmen wir die Zählrate der αs als
Funktion der Zeit auf, so erhalten wir die Information, wie sich in jedem Zeitintervall die
Zahl N der vorhandenen Kerne verändert hat. Wir beobachten also nicht die uns eigentlich
interessierende Funktion N(t) sondern deren Ableitung Ṅ(t) = dN/dt. Außerdem wissen
wir, dass die Zahl Ṅ(t) der zerfallenden Atome proportional zur Zahl N(t) der vorhandenen
Atome ist: Ṅ(t) = −λN(t). Die Zahl N(t) der vorhandenen Kerne bestimmen wir aus dieser
Differentialgleichung durch Integration. Wir werden diesen Punkt in Kap. 7 weiter vertiefen.
§ 644 Aber auch bei unserem einfachen mechanischen Beispiel, der Bewegung v(t) = ds/dt,
begegnen wir der Integration. Bewegt sich der Körper mit gleichförmiger Geschwindigkeit
v = s/t, so ergibt sich die innerhalb eines Zeitintervalls N(t) zurück gelegte Strecke zu
s = v(t 2 −t 1 ). Ist die Geschwindigkeit jedoch nicht konstant, so lässt sich der im Zeitintervall
[t 1 , t 2 ] zurück gelegte Weg durch Integration bestimmen:
s =
∫ t 2
t 1
v(t) dt .
Kennen wir die Geschwindigkeit explizit als Funktion der Zeit, z.B. v(t) = at, so lässt sich
die Integration mit den bereits aus der Schule bekannten Verfahren durchführen. Ist die Geschwindigkeit
dagegen aus einer Messung nur an diskreten Stellen t i bekannt, so lässt sich der
zurück gelegte Weg durch numerische Integration dieser Folge von Messwerten bestimmen,
wie in Abschn. 5.5.7 beschrieben.
§ 645 Der oben für den Weg gegebene Ausdruck ist ein bestimmtes Integral; wir können
ihn uns genauso veranschaulichen, wie wir auch ein bestimmtes Integral veranschaulichen
würden. Die Funktion v(t) beschreibt die veränderliche Geschwindigkeit des Körpers. Wäre
die Geschwindigkeit konstant, so würden wir einfach v mit der Länge des Zeitintervalls multiplizieren:
das ist die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der Abszisse bzw. die
Fläche unter der Funktion im Geschwindigkeits–Zeit-Diagramm. Bei einer veränderlichen
Geschwindigkeit bestimmen wir diese Fläche durch Integration. Anschaulich zerlegen wir das
Zeitintervall in kleine Abschnitte ∆t, vgl. Abb. 5.1. Die Abschnitte sind so klein, dass die
Geschwindigkeit innerhalb ∆t als konstant angenommen werden kann. Der Körper legt dann
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007