Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

330 KAPITEL 8. MATRIZEN
Das ist selbstverständlich nicht identisch mit der Projektion auf die Diagonale in der xy-
Ebene mit ⃗e d = (1, 1, 0)/ √ 2 und der Projektionsmatrix gemäß (8.14)
⎛
P d = 1 ⎝ 1 ⎞
⎛
1 ⎠ ( 1 1 0 ) = 1 ⎝ 1 1 0
⎞
1 1 0 ⎠
2
2
0
0 0 0
und damit
⎛
⃗a d = P d ⃗a = 1 ⎝ 1 1 0
⎞ ⎛
1 1 0 ⎠ ⎝ a ⎞ ⎛
x
a y
⎠ = 1 ⎝ a ⎞
x + a y
a x + a y
⎠ .
2
2
0 0 0 a z 0
Eigenvektoren und Projektionen.
§ 1241 Werfen wir nochmals einen Blick auf Gleichung (1.10) für die Projektion eines Vektors
auf einen anderen und auf Gleichung (8.8) zur Bestimmung von Eigenwerten und -vektoren.
Aus der formalen Ähnlichkeit können wir eine anschauliche Interpretation für Eigenwerte
und Eigenvektoren gewinnen: eine Matrix A wirkt derart auf ihren Eigenvektor ⃗x, dass sich
ein neuer Vektor λ⃗x ergibt, der parallel zum Eigenvektor ist, allerdings um einen Faktor λ
verlängert (|λ| > 1) oder verkürzt (|λ| < 1) und gegebenenfalls (λ < 0) entgegengesetzt
gerichtet. Da die Eigenvektoren orthonormal sind, gilt mit δ ij als dem Kronecker-Symbol
⃗x i · ⃗x j = δ ij .
Aus diesen Vektoren lässt sich eine neue Matrix X konstruieren
X = ( ⃗x 1 ⃗x 2 ⃗x 3 . . . ⃗x N ) .
Diese Matrix ist orthogonal (bzw. im Komplexen unitär), d.h. es ist X T X = E.
§ 1242 Da die n Eigenvektoren im n-dimensionalen Raum ein vollständiges System bilden,
kann die Vollständigkeitsrelation geschrieben werden als
E =
N∑
⃗x i ⃗x i .
i=1
Wenden wir diesen Ausdruck auf einen beliebigen Vektor ⃗a an, so ergibt sich eine Beschreibung
von ⃗a mit Hilfe von Eigenvektoren, die (8.15) vollständig analog ist:
N∑
N∑
⃗a = ⃗x i (⃗x i · ⃗a) = ⃗x i ⃗x i ⃗a .
i=1
i=1
Wenden wir nun die Matrix, deren Eigenvektoren diese ⃗x k sind, auf diesen Vektor an, so
ergibt sich
A⃗a =
N∑
λ i ⃗x i (⃗x i · ⃗a) , (8.18)
i=1
d.h. die Matrix A wirkt auf einen beliebigen Vektor ⃗a derart, dass dieser auf jeden der Eigenvektoren
projiziert wird, ausgedrückt durch die Terme ⃗x i · ⃗a. Diese Projektionen werden mit
dem jeweiligen Eigenwert multipliziert.
8.3.4 Eigenvektoren und inverse Matrix.
§ 1243 Die Wirkung einer Matrix A auf einen Eigenvektor ⃗x ist A⃗x = λ⃗x. Jeder Eigenvektor
⃗x i einer Matrix A ist auch Eigenvektor der inversen Matrix A −1 mit dem Eigenwert 1/λ i , d.h.
es gilt auch
A −1 ⃗x = 1 λ ⃗x .
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode