Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

9.2. DIE DIRAC’SCHE DELTA FUNKTION 355
der δ Funktion auf einen Punkt ⃗r 0 bzw. x 0 beschränkt werden – für den ersteren Fall benötigen
wir die dreidimensionale δ Funktion, für letzteren ist die eindimensionale ausreichend.
§ 1323 Beschränken wir uns auf Grund der besseren Darstellbarkeit und damit der größeren
Anschaulichkeit auf den eindimensionalen Fall. Um die gewünschte Festlegung der Dichteverteilung
auf den einen Wert zu erreichen, könnten wir in Anlehnung an das Kronecker Delta
einen Ansatz der Form
{
δ(x, x 0 ) =
? 1 für x = x0
0 für x ≠ x 0
machen. Diese Darstellung wählt zwar bei x 0 den Funktionswert f(x 0 ) aus, ist jedoch mit
(9.1) nicht vereinbar: auf Grund der verschwindenden Breite – die Funktion ist nur in einem
Punkt von Null verschieden – trägt dieser Punkt nichts zum Integral bei, d.h. das Integral
verschwindet.
§ 1324 Alternativ können wir eine Beschreibung in der Form
{
δ(x, x 0 ) =
? ∞ für x = x0
.
0 für x ≠ x 0
versuchen. In diesem Fall wird der Wert an der Stelle x 0 unendlich und kann damit auch bei
verschwindender Breite einen Beitrag zum Integral leisten. Diese Definition ist problematisch:
zum einen, was bedeutet unendlich; zum anderen stellt sich die Frage, welche Rolle die Funktion
f(x) dann noch im Integral spielt, da der Integrand unabhängig von der speziellen Wahl
von f(x) an der Stelle x 0 stets den Wert ∞ annimmt. Außerdem bewirkt die Vorstellung,
auf der Basis ∞ · 0 = 1 eine Funktion definieren zu wollen, nicht nur bei einem Mathematiker
ein leicht gesträubtes Nackenfell.
§ 1325 Auch wenn obige Formen gelegentlich als vereinfachte Definition der δ Funktion in
der Literatur zu finden ist, sind beide Ansätze nicht sinnvoll.
9.2.1 Annäherungen
§ 1326 Die obigen Pauschalbetrachtungen sind nicht hilfreich, da sie der verschwindenden
Breite nicht angemessen Rechnung tragen. Eine Darstellung, in der sich die Breite der Funktion
ebenfalls Null annähert, wäre angemessener. Betrachten wir eine Folge von Kastenfunktionen,
{ 0 |x| > 1/n
g n (x) =
Diese Folge ist normiert
∫ ∞
−∞
g n (x) dx = 1
1
2 n |x| ≤ 1/n n = 1, 2, 3, ... .
da jeder Kasten der Breite 2/n und Höhe n/2 eine Fläche von Eins hat. Die Folge ferner für
n → ∞ den Grenzwert
{ 0 x ≠ 0
lim g n =
n→∞ ∞ x = 0 .
Das sieht dem in § 1324 verworfenen Vorschlag ähnlich. Der wesentliche Unterschied ist
die Annäherung über einen Grenzwert. Dadurch wird der Unendlichkeit die mathematische
Spitze genommen.
§ 1327 Jetzt muss allerdings noch die auszuwertende Funktion f(x) einbezogen werden. Für
die Folge der Kastenfunktionen gilt
∫ ∞
−∞
g n f(x) dx = n 2
x∫
0+ 1 n
x 0− 1 n
f(x) dx = f(x 0 ) ,
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007