Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

1.6. MATHEMATISCHE ERGÄNZUNG 37
1.6.4 Pythagoras revisited
§ 175 Damit können wir eine formalere Variante zum Beweis unseres Eingangsproblems
betrachten. Im Dreieck lässt sich eine Seite vektoriell als die Summe der anderen beiden
Seiten darstellen: ⃗c = ⃗a + ⃗ b mit ⃗c als der Hypothenuse und den Vektoren ⃗a und ⃗ b als den
Katheten. Quadrieren liefert ⃗c 2 = ⃗a 2 +2⃗a·⃗b+ ⃗ b 2 oder c 2 = a 2 +b 2 +2⃗a·⃗b. Im rechtwinkligen
Dreieck ist ⃗a ⊥ ⃗ b, also α = π 2 , und damit ⃗a ·⃗b = 0, womit Pythagoras c 2 = a 2 + b 2 bewiesen
ist.
1.6.5 Nicht-geometrische Anwendungen
§ 176 Alle geometrischen Erläuterungen zu Vektorräumen sind auf R n mit n ≤ 3 beschränkt.
Die Erweiterung dieser geometrischen Konzepte auf Vektorräume höherer Dimension ist nicht
sinnvoll; 15 Vektorräume höherer Dimensionen werden eingeführt, um Systeme zu beschreiben,
deren Eigenschaften den Axiomen eines Vektorraums gehorchen und deren Objekte als
Elemente im R n darstellbar sind.
Polynome
§ 177 Betrachten wir die Menge aller Polynome vom Grad n:
n∑
P (a 0 , . . . , a n )(x) = a 0 x 0 + a 1 x 1 + . . . + a n x n = a i x i a i ∈ R .
Addition zweier Polynome gibt ein Polynom – und zwar eines, dass wieder im R n enthalten
ist. Desgleichen gilt für die Multiplikation mit einem Skalar. Auch die anderen Axiome aus
Def. 10 sind erfüllt, d.h. die Polynome bilden einen Vektorraum. Die Basis ist der minimale
Satz von Vektoren der erforderlich ist, um alle Vektoren des Vektorraums darzustellen. Eine
einfache Wahl ist
⃗e 1 = x 0 , ⃗e 2 = x 1 , . . . , ⃗e n+1 = x n .
Die Komponenten eines jeden Polynoms sind eindeutig durch die Koeffizienten (a 0 , a 1 , . . . , a n )
bestimmt, d.h. die Menge der Polynome n-ter Ordnung ist ein Vektorraum R n+1 . Damit
gelten alle Regeln, die im R n+1 gelten, auch für Polynome n-ter Ordnung. Die Lösungen eines
Polynoms P (x) = 0 bilden jedoch keinen Vektorraum: ist x 0 eine Lösung, d.h. P (x 0 ) = 0, so
gilt im Allgemeinen nicht P (λx 0 ) = 0.
§ 178 Lässt sich auch in einem derartigen Vektorraum ein Abstand definieren, für den es Sinn
machen würde, ein Skalarprodukt einzuführen? Der entscheidende Punkt ist, wie beim Euklidischen
Skalarprodukt, die Auswahl der Basen {x 0 , . . . , x n } und die Definition der Beziehung
x i · x j für alle i, j = 0, . . . , n. Die Standardantwort x i+j ist in diesem Fall nicht sinnvoll: zum
einen sind die x i Vektoren und keine Skalare, zum anderen hat x i+j für i + j > n keinerlei
Bedeutung. In Anlehnung an das Euklidische Skalarprodukt muss aus den beiden Vektoren
x i und x j eine reelle Zahl erzeugt werden. Eine Methode ist die Integration. Dazu definieren
wir probeweise das Skalarprodukt der Basisvektoren
x i · x j =
∫ B
A
x i+j dx .
15 Zum Ende des 19. Jahrhunderts gab es verschiedentlich Versuche, Probleme bei der Vorstellung höherer
Dimensionen zu illustrieren, in dem man Flächenwesen plötzlich mit einem dreidimensionalen Besucher (also
einem, aus einer höheren, für ein Flächenwesen nicht vorstellbaren Dimension) konfrontiert. Bekanntestes
Beispiel ist E.A. Abbott’s Flatland (1884), spätere Varianten sind z.B. ‘Silvestergespräche eines Sechsecks’
von D. Burger oder ‘Flacherland’ von I. Stewart (2003). Alle diese Bücher enthalten auch eine gehörige
Portion Gesellschafts- und/oder Wissenschaftskritik – insbesondere Stewart geht einerseits bis zu Feynman-
Diagrammen und Superstrings, lässt aber auch immer wieder durchblicken, wie Realitätsfern diese formalen
Konstrukte sind.
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c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007