Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

238 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Setzen wir diesen Ausdruck in die Lösung (7.9) der homogenen Differentialgleichung ein, so
erhalten wir die Lösung der inhomogenen DGL
[∫ ( { ∫ } ) ] {∫ }
x = g(t) exp − a(t) dt dt + C exp a(t) dt .
Dieser letzte Ausdruck sieht in der hier dargestellten allgemeinen Form nicht gerade übersichtlich
aus – Sie sollten aber bedenken, dass sich die Integrale häufig direkt ausführen lassen,
so dass das Ergebnis einer konkreten DGL wesentlich kompakter aussieht.
§ 919 Dazu betrachten wir als Beispiel die Differentialgleichung
a x = ẋ + cos(ωt)
Diese ist eine inhomogene lineare DGL mit konstantem Koeffizienten a und der Inhomogenität
cos(ωt). Zuerst bestimmen wir die Lösung der homogenen DGL ax = ẋ durch Separation
dx/x = adt. Integration liefert ln x = at+c 1 und damit als allgemeine Lösung der homogenen
DGL
x H = c e at .
Eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung ergibt sich durch Variation der Konstanten
x = c(t) e at . (7.12)
Dieser Ansatz wird abgeleitet
ẋ = ċ(t) e at + c(t)a e at
und in die DGL eingesetzt
{ċ(t)
e at + ac(t) e at} + cos(ωt) = a c(t) e at .
Die Differentialgleichung für c(t) ist damit
ċ(t) = − cos(ωt) e −at .
Zweifache partielle Integration liefert
e−at
c(t) = −
a 2 (−a cos(ωt) + ω sin(ωt)) + C
+ ω2 mit C als Integrationskonstante. Die Gesamtlösung ergibt sich durch Einsetzen in (7.12):
)
x(t) =
(− e−at
a 2 + ω 2 (−a cos(ωt) + ω sin(ωt)) + C e at .
Zwischenrechnung 28 Verifizieren Sie, dass dieser Ausdruck Lösung der inhomogenen
DGL ist.
Zwischenrechnung 29 Führen Sie die doppelte partielle Integration für ∫ − cos(ωt) e −at dt
aus oder lösen Sie das Integral auf andere Weise. Der Unterschied zu § 668 und § 801 besteht
ja nur im Auftreten der inneren Funktionen ωt bzw. −at.
Aufsuchen einer partikulären Lösung
§ 920 Eine inhomogene lineare DGL erster Ordnung vom Typ ẋ + a(t)x = g(t) lässt sich
auch durch Aufsuchen einer partikulären Lösung lösen. Dazu lösen wir zunächst wieder die
homogene DGL. Mit Hilfe eines geeigneten Lösungsansatzes, der noch einen oder mehrere Parameter
enthält, wird eine partikuläre Lösung x p der inhomogenen linearen DGL bestimmt.
Die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen DGL ist dann die Summe aus der allgemeinen
Lösung der homogenen und einer speziellen Lösung der inhomogenen DGL:
x = x H + x p .
Das Aufsuchen einer partikulären Lösung setzt etwas Erfahrung voraus, da wir einen geeigneten
Lösungsansatz Raten müssen. Der Lösungsansatz für die partikuläre Lösung x p wird
in Abhängigkeit von der Störfunktion g(t) gewählt. Als Faustregel gilt:
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode