Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.9. NUMERISCHE VERFAHREN 281
7.9.4 Leapfrog Verfahren
§ 1059 Numerische Fehler können im Euler Verfahren bei zu großer Schrittweite schnell sehr
groß werden, wie in Abb. 7.24 bereits angedeutet. Der Fehler entsteht dadurch, dass wir unterstellen,
dass f(t, x) im gesamten Intervall t i +∆t konstant ist. Beim Leapfrog oder Halbschritt
Verfahren wird daher zusätzlich der Wert in der Intervallmitte betrachtet. Ansonsten unterscheidet
sich das Verfahren nicht vom Euler’schen; es ist allerdings etwas unanschaulicher,
da wir zusätzlich einen Wert in der Intervallmitte betrachten und dieser Wert am Anfang des
Intervalls noch nicht bekannt ist, siehe auch untere Zeile in Abb. 7.20. Also muss der Wert in
der Intervallmitte zunächst berechnet werden. Dazu stellen wir ein neues Gleichungssystem
auf:
und
x i+ 1
2 = x i− 1 2 + f(t i, x i )∆t mit x − 1
2 = x 0 − 1 2 f(t 0, x 0 )∆t
x i+1 = x i + f(t i+ 1
2 , x i+ 1 2 )∆t mit x 0 = x 0 .
Beide Gleichungen werden abwechselnd iteriert.
§ 1060 Zur numerischen Lösung der DGL des radioaktiven Zerfalls im Leapfrog Verfahren
erhalten wir aus der DGL Ṅ = −λN mit Anfangswert N = N 0 die folgenden beiden Differenzengleichungen
und
N i+ 1
2 = N i− 1 2 − λN i ∆t (7.44)
N i+1 = N i − λN i+ 1 ∆t (7.45)
2
mit den Anfangswerten
und
N 0 = N 0 (7.46)
N − 1 = N 1
0 + λN
2 0 ∆t . (7.47)
2
Der Anfangswert ist N 0 , wie in (7.46) angegeben. Dieser Wert reicht jedoch nicht aus, um mit
einer der Differenzengleichungen (7.44) oder (7.45) weiter zu arbeiten, da dort stets Zählraten
von Intervallgrenzen, d.h. der Form N i , und Intervallmitten, d.h. der Form N i+1/2 , kombiniert
werden. Daher müssen wir zuerst mit Hilfe von (7.47) den Wert von N −1/2 bestimmen, d.h.
einen Anfangswert in einer Intervallmitte. Mit diesen beiden Werten können wir die Differenzengleichungen
abarbeiten: zuerst wird mit (7.44) der Wert in der Mitte des Anfangsintervalls
bestimmt, mit diesem und (7.45) der Wert am Ende des Intervalls. Dieser Wert ist gleichzeitig
der Wert am Anfang des folgenden Intervalls und kann in (7.44) eingesetzt werden, um die
Mitte dieses Intervalls zu bestimmen. Dieses Verfahren setzt sich fort, immer zwischen (7.44)
und (7.45) alternierend.
§ 1061 Mit λ = (10 s) −1 , N 0 = 10 000 und ∆t = 1 s erhalten wir für das Beispiel aus § 1036
die ersten 16 s die in Tabelle 7.2 gegebenen Werte. Zum Vergleich geben die letzten beiden
Spalten die mit einem Euler Verfahren bei gleicher Schrittweite bestimmten Werte sowie
das Ergebnis der analytischen Lösung. Das Leapfrog-Verfahren liefert eine wesentlich bessere
Annäherung an die analytische Lösung. Allerdings ist die Rechenzeit doppelt so lang wie
beim Euler-Verfahren, da ja stets auch noch die Werte in der Intervallmitte berechnet werden
müssen. Vergleicht man die Ergebnisse des Leapfrog Verfahrens in Tabelle 7.2 mit denen eines
Euler Verfahrens mit halber Schrittweite bzw. gleicher Rechenzeit (vgl. Tabelle 7.1, 5. Spalte),
so zeigt das Leapfrog Verfahren weiterhin bessere Ergebnisse. Das ist auch anschaulich, da
das Euler Verfahren auch bei kleiner Schrittweite immer die gleichen Fehler macht, während
das Leapfrog Verfahren schon aus seinem Ansatz heraus eine bessere Annäherung an die reale
Funktion erlaubt.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007