Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.10. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IN MATLAB 291
Harmonischer Oszillator im Euler−Verfahren
1.5
Harmonischer Oszillator im Euler−Verfahren
2.5
Ort (rot) bzw. Geschwindigkeit (grün)
1
0.5
0
−0.5
−1
Ort (rot) bzw. Geschwindigkeit (grün)
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−1.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Zeit
−2.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Zeit
Abbildung 7.24: Harmonischer Oszillator als Beispiel für eine numerische Lösung einer Differentialgleichung
zweiter Ordnung. Links: angemessene Schrittweite, rechts: Schrittweite zu
groß, die Amplitude der freien Schwingung wächst obwohl keine Energie zugeführt wird
§ 1095 Eine mit diesem Schema bestimmte Lösung ist im linken Teil von Abb. 7.24 gezeigt.
Hier ist die Schrittweite gleich 0.001 gewählt, das entspricht 16 000 Schritten für den dargestellten
Zeitraum. Die numerische Lösung ist auch physikalisch sinnvoll und stimmt gut
mit der analytischen überein. Reduzieren wir die Schrittweite in der Zeit auf 0.1, so ergibt
sich das im rechten Teil von Abb. 7.24 gezeigte Ergebnis: hier addieren sich die numerischen
Fehler des Verfahrens derart, dass sich kein harmonischer Oszillator ergibt sondern die Amplitude
der Schwingung zunimmt – da dies glücklicherweise physikalisch nicht sinnvoll ist,
erkennen wir schnell, dass das numerische Verfahren an dieser Stelle zu ungenau ist. Selbst
bei einer Schrittweite von 0.01 nimmt die Amplitude im betrachteten Intervall schon um
einige Prozent zu – so dass die physikalische Unsinnigkeit der Lösung offensichtlich wird.
§ 1096 In diesem Beispiel ist die fehlerhaftigkeit der numerischen Lösung im rechten Teilbild
offensichtlich, die Schrittweite des Verfahrens ist zu groß. Hätten wir statt der freien
die gedämpfte Schwingung betrachtet, so wäre ein derartiger Fehler wesentlich schwieriger
zu erkennen gewesen: erst wenn das numerische Aufschwingen größer wird als die physikalisch
Dämpfung, wird der Fehler so offensichtlich wie im rechten teil von Abb. 7.24.
Überwiegt dagegen die Dämpfung das numerische Aufschwingen, so ist das Ergebnis wieder
einer gedämpften Schwingung ähnlich – aber die in der numerischen Lösung auftretende
Dämpfung ist geringer als die reale Dämpfung.
7.10.3 Leapfrog Verfahren
§ 1097 Das Hauptproblem im Euler Verfahren ist die Verwendung der durch f(t, x) beschriebenen
Steigung als konstanten Wert im gesamten Intervall ∆t. Das Leapfrog Verfahren führt
statt dessen eine mittlere Steigung ein, in dem es ein weiteres, um einen halben Gitterpunkt
verschobenes Raster in t einführt. Die jeweils nächsten Punkte innerhalb jeden Rasters werden
ähnlich wie im Euler-Verfahren bestimmt, allerdings wird als Steigung jeweils der Wert
aus dem anderen Raster verwendet, d.h. der Mittelwert der Steigung in dem Intervall.
§ 1098 Die relevanten Gleichungen zur Beschreibung des Leapfrog Verfahrens sind
x(t i+1 ) = x(t i ) + ∆t f(t i+1/2 , x i+1/2 )
x(t i+1/2 ) = x(t i−1/2 ) + ∆t f(t i , x i )
mit den Randbedingungen
x(t 0 ) = x 0 und x t−1/2 = x(t 0 ) − ∆t
2 f(t 0, x 0 ) .
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007