Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

170 KAPITEL 5. INTEGRATION
Fallen die Integrationsgrenzen zusammen, a = b, so verschwindet das Integral:
∫ a
a
f(x) dx = F (a) − F (a) = 0 oder I(a, a) = 0 .
Bei Zerlegung des Integrationsintervalls in Teilintervalle addieren sich die Teilintegrale:
oder
∫ b
a
f(x) dx =
∫ c
a
∫ b
f(x) dx +
c
f(x) dx mit a ≤ c ≤ b
I(a, b) = I(a, c) + I(c, b) mit a ≤ c ≤ b .
§ 659 Beim bestimmten Integral bedürfen Nullstellen mit Vozeichenwechsel der besonderen
Aufmerksamkeit. Das bestimmte Integral basiert auf einer Summation über Flächenelemente
f(x) ∆x. Da ∆x positiv ist, sind diese Flächenelemente positiv falls f(x) > 0 und werden
negativ für f(x) < 0. Im Extremfall (z.B. Integration von sin(x) im Intervall von Null bis 2π)
heben sich positive und negative Beiträge zur Fläche auf und das Integral verschwindet (vgl.
Abb. C.6). Um die Gesamtfläche korrekt zu bestimmen, muss das Integral in Teilintegrale
von a bis zur Nullstelle x N und von der Nullstelle bis b aufgespalten werden. Anschließend
werden deren Beträge addiert:
∣ ∣ ∫ b
∣∣∣∣∣ ∫x N
∣∣∣∣∣ ∫b
f(x) dx
∣ ∣ = f(x) dx
∣ + f(x) dx
oder |I(a, b)| = |I(a, x n )| + |I(x n , b)| .
∣
a
a
x N
Bei mehreren Nullstellen in (a, b) sind entsprechend mehrere Teilintegrale zu bilden.
∆x→∞ x=a
§ 660 Durch die Interpretation des bestimmten Integrals als Fläche unter dem Funktionsgraphen
können wir die folgende Definition einführen:
b∑
Definition 50 Ist der Grenzwert lim f(x) ∆x vorhanden, so heißt er bestimmtes Integral
der Funktion f(x) in den Grenzen von a bis b und wird geschrieben ∫ b
a
lim
∆x→∞
x=a
b∑
f(x) ∆x =
∫ b
a
f(x) dx .
f(x) dx:
Verständnisfrage 9 Wie geht man bei der Integration eigentlich mit Polstellen oder Definitionslücken
um. In Definition 50 werden solche Stellen nicht explizit erwähnt, kann man
sie daher ignorieren? Wie sieht das beim unbestimmten Integral aus?
§ 661 In Anlehnung an die obige Interpretation hat das bestimmte Integral die folgenden
Eigenschaften
• Das bestimmte Integral
I(x) =
∫ x
a
f(t) dt
repräsentiert den Flächeninhalt zwischen der Funktion y = f(t) und der t-Achse im Intervall
a ≤ t ≤ x in Abhängigkeit von der oberen Grenze x.
• Zu jeder stetigen Funktion f(t) gibt es unendlich viele bestimmte Integrale, die sich in
ihrer unteren Grenze voneinander unterscheiden.
• Die Differenz zweier bestimmter Integrale I 1 (x) und I 2 (x) von f(t) ist eine Konstante.
§ 662 In der ersten Eigenschaft wird das Integral zur Definition einer Funktion I(x) verwendet.
Die unabhängige Variable x ist dabei die obere Grenze des Integrationsintervalls. Dieser
Methode zur Definition einer Funktion werden wir bei den verallgemeinerten Funktionen in
Kap. 9 nochmals begegnen.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode