Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

536 ANHANG C. ERSTE HILFE
Abbildung C.6: Bestimmtes Integral
und Nullstelle: das Integral über den
Sinus im Bereich von 0 bis 360 ◦ verschwindet,
da sich die rot und blau
schraffierten Flächenstückchen genau
aufheben. Korrekt wird jeweils von
Nullstelle bis Nullstelle integriert und
der Betrag der sich ergebenden Flächen
addiert
Graph der Funktion verläuft unterhalb der x-Achse und die Fläche wird negativ. Das können
wir einsehen, wenn wir diese Flächenstückchen einzeln betrachten. Für die rot schraffierte
Fläche gilt
F + =
180 ∫
◦
0 ◦ sin(x) dx = [− cos(x)] 180◦
0 ◦ = − [cos(180◦ ) − cos(0 ◦ )] = −(−1 − 1) = 2 .
Dieser Wert ist, wie aus der Abbildung erwartet, positiv. Für das blau schraffierte Flächenstück
ergibt sich
F − =
360 ∫
◦
180 ◦ sin(x) dx = [− cos(x)] 360◦
180 ◦ = − [cos(360◦ ) − cos(180 ◦ )] = −(1 − (−1)) = −2 ,
Auch hier entspricht das Vorzeichen den Erwartungen. Addieren wir jetzt beide Flächen, so
erhalten wir F + + F − = 2 − 2 = 0, wie auch oben durch die Integration gefunden.
§ 1897 Bevor wir resignieren, sollten wir vielleicht noch einmal genauer über die negative
Fläche nachdenken. Da der Funktionsgraph in dem Bereich, in dem wir F − bestimmt haben,
unter der x-Achse liegt, ist das Flächenstück negativ geworden. Physikalisch kann es aber
keine negative Fläche geben. Eine Fläche ist immer das Produkt von zwei Längen; ein solches
Produkt wird nur dann negativ, wenn eine der Längen negativ ist – das ist aber Blödsinn,
kein Mensch ist −178 cm groß. Also interpretieren wir F − etwas anders: der Betrag von F −
gibt die Größe des Flächenstückchens an, das Vorzeichen ist unwichtig, es sagt uns nut, ob
die Fläche ober- oder unterhalb der x-Achse liegt. Daher bestimmen wir die Gesamtfläche
durch Addition der Beträge der Teilflächen:
360 ∫
◦
0 ◦ sin(x) dx = |F + | + |F − | = 2 + 2 = 4 .
§ 1898 Dieses Beispiel führt uns zu einer allgemeineren Regel: findet sich bei einem bestimmten
Integral im Integrationsbereich eine Nullstelle, so müssen wir das Integral in zwei Teile
zerlegen: der erste Teil reicht von der unteren Integrationsgrenze bis zur Nullstelle, der zweite
von der Nullstelle bis zur oberen Integrationsgrenze. Mit x N als der Lage der Nullstelle gilt
∣ ∫ b
∫ x n
∣∣∣∣∣ ∫b
f(x) dx =
f(x) dx
∣ ∣ + f(x) dx
∣ .
a
a
x N
Befindet sich mehr als eine Nullstelle im Integrationsintervall, so muss dieses in entsprechend
mehr Teilstücke zerlegt werden.
Beispiel 24 Als Beispiel betrachten wir das Integral über die Funktion x 2 − 4 im
Bereich von −3 bis +3. Der Funktionsgraph ist eine Normalparabel, allerdings um
−4 nach unten geschoben. Daher schneidet der Funktionsgraph die x-Achse. Also
bestimmen wir die Nullstellen:
x 2 N − 4 ! = 0 ⇒ x N1 = −2 und x N2 = 2 .
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode