Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.10. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IN MATLAB 287
7.10 Gewöhnliche Differentialgleichungen in MatLab
§ 1082 Diese MatLab-Ergänzung gliedert sich in zwei Teile. Im ersten Teil werden wir die
aus Abschn. 7.9 bekannten numerischen Verfahren von Hand in MatLab implementieren. Im
zweiten Teil werden wir zum Vergleich einen kurzen Blick auf die in MatLab implementierten
Solver für gewöhnliche Differentialgleichungen werfen und die Unterschiede zu den Hand
gestrickten Verfahren heraus stellen.
7.10.1 Grundidee numerische Verfahren handgestrickt
§ 1083 Numerische Verfahren zur Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen können
in jeder Programmiersprache realisiert werden. Als Vorübung dazu werden wir die in Abschn.
7.9 besprochenen Verfahren selbst als Routinen in MatLab darstellen.
§ 1084 Dazu gehen wir von einer Differentialgleichung aus, die in der Form
ẋ = f(t, x)
gegeben ist. Diese Differentialgleichung ist im Intervall von t 1 bis t 2 zu integrieren. Die Zahl
der bei der Integration verwendeten Schritte n steht mit der Schrittweite ∆t in Beziehung
gemäß
∆t = t 2 − t 1
n
.
§ 1085 Als einfaches numerisches Beispiel und zum Test der verschiedenen Verfahren wählen
wir die Differentialgleichung
tẋ − x = t 2 + 4
oder aufgelöst nach ẋ
ẋ = t2 + 4 + x
t
.
Die Gleichung ist für die Randbedingung x(1) = 2 im Intervall von +1 bis +5 zu lösen. Die
allgemeine analytische Lösung dieser DGL ist
x = t 2 − 4 + ct .
Aus der Anfangsbedingung ergibt sich für die Integrationskonstante c = 5 und damit als
Lösung der DGL für die gegebenen Anfangsbedingungen
x = t 2 − 4 + 5t . (7.50)
Zwischenrechnung 44 Klassifizieren Sie die DGL und lösen Sie sie von Hand.
§ 1086 Die folgenden MatLab-Beispiele sind auf verschiedene Weisen realisiert – als Skripte
für die Funktion aus § 1085 mit Vergleich mit der theoretischen Lösung oder als MatLab-
Funktionen, die für beliebige Differentialgleichungen aufgerufen werden können. In letzterem
Fall zwar mit graphischer Darstellung der numerischen Lösung aber natürlich ohne den Vergleich
mit der analytischen Lösung, da MatLab diese nicht bestimmen kann.
7.10.2 Euler’sches Streckenzugverfahren
§ 1087 Das Euler’sche Streckenzugverfahren (oder kurz Euler Verfahren) extrapoliert die
gesuchte Funktion x(t) mit Hilfe der durch f(t, x) gegebenen Steigung:
x(t i+1 ) = x(t i ) + ∆t f(x i , t i ) mit x(t o ) = x o und t i = t o + i ∆t . (7.51)
Darin ist ∆t die Schrittweite in t. Diese Gleichung ist, von der Anfangs- bzw. Randbedingung
ausgehend, n-mal zu iterieren, bis das Ende des Integrationsintervalls erreicht ist.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007