Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

1.6. MATHEMATISCHE ERGÄNZUNG 31
3. für die Addition gilt das Assoziativgesetz (die Addition ist assoziativ)
⃗u + (⃗v + ⃗w) = (⃗u + ⃗v) + ⃗w = ⃗u + ⃗v + ⃗w ∀ ⃗u, ⃗v, ⃗w ∈ V .
4. es gibt einen Nullvektor ⃗0 (neutrales Element der Addition) in V mit
⃗u + ⃗0 = ⃗u ∀ ⃗u ∈ V .
5. zu jedem Vektor ⃗u in V gibt es einen inversen Vektor −⃗u in V , derart dass gilt
⃗u + (−⃗u) = ⃗0 ∀ ⃗u ∈ V .
6. für die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar gilt das Distributivgesetz:
(λ + µ)⃗u = λ⃗u + µ⃗u und λ(⃗u + ⃗v) = λ⃗u + λ⃗v ∀ λ, µ ∈ R ∧ ∀ ⃗u, ⃗v ∈ V .
7. für die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar gilt das Assoziativgesetz:
λ(µ⃗u) = (λµ)⃗u = λµ⃗u ∀ λ, µ ∈ R ∧ ∀ ⃗u ∈ V .
§ 150 Eine ähnliche Kombination von Elementen und Regeln für Rechenoperationen mit der
Betonung auf Abgeschlossenheit bezüglich Addition und Multiplikation sowie Gültigkeit von
Assoziativ- und Distributiv-, gegebenenfalls auch noch Kommutativgesetz findet sich in der
Definition der Körper der reellen und der komplexen Zahlen, vgl. Abschn. 6.4.
§ 151 Die Axiome in Def. 10 sind mathematisch sauber formuliert, wir haben weiter oben
auch überprüft, dass die komponentenweise Addition ebenso wie die komponentenweise Multiplikation
mit einem Skalar Rechenoperationen sind, die diese Axiome erfüllen. Newton’s
zweites Gesetz, ⃗ F = m⃗a oder ⃗a = ⃗ F /m, kann helfen, diese Axiome ohne Rückgriff auf mathematische
Formulierungen zu veranschaulichen. Kräfte haben die folgenden Eigenschaften:
• wirken mehrere Kräfte ⃗ F i auf einen Körper, so ergibt sich die gleiche Beschleunigung ⃗a als
wenn wir die Kräfte mit Hilfe des Kräfteparallelogramms zu einer Gesamtkraft ⃗ F = ∑ ⃗ Fi
aufsummieren. Die Summe dieser Kräfte ist daher wieder eine Kraft (Axiom 1 ist erfüllt)
und die Reihenfolge der Addition spielt keine Rolle (Axiome 2 und 3).
• wir können jederzeit eine Kraft ⃗ F = ⃗0 in jeder beliebigen Richtung auf einer Körper
wirken lassen (Axiom 4). Insbesondere können wir eine Kraft ⃗ F und eine entgegen gesetzte
gleich große Kraft − ⃗ F auf einen Körper wirken lassen, mit der Konsequenz, dass er nicht
beschleunigt wird, da ⃗ F − ⃗ F = ⃗0 (Axiom 5).
• die aus einer wirkenden Kraft ⃗ F resultierende Beschleunigung ⃗a ist mit der Masse skaliert,
entsprechend der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar (Axiom 6).
§ 152 Auch die oben gegebenen Definitionen von Geraden und Ebenen mit Hilfe linearer
Gleichungen können mit Vektoren als den Elementen des in Def. 10 definierten Vektorraums
dargestellt werden. Eine Gerade L(m, c), beschrieben durch y = mx + c, haben wir als eine
Menge von Punkten
L(m, c) = {(x, mx + c) : x ∈ R}
beschrieben. Multiplikation mit einem Skalar lässt sich definieren als
λ(x, mx + c) = (λx, λmx + λc) ,
die Addition entsprechend als
(x 1 , mx 1 + c) + (x 2 , mx 2 + c) = (x 1 + x 2 , m(x 1 + x 2 ) + 2c) .
Das ist nur eine andere Schreibweise für die in Abschn. 1.2.4 eingeführten Rechenregeln.
§ 153 Aber erfüllen die Regeln auch die Axiome aus Def. 10? Als erstes ist die Abgeschlossenheit
zu prüfen: ist das Ergebnis von Addition oder Multiplikation wieder ein Element der
Menge L(m, c), d.h. hat das Ergebnis wieder die Form von (X, mX +c) für einen reellen Wert
von X? Zumindest für c = 0, d.h. eine Gerade durch den Ursprung, ist das offensichtlich. Mit
dieser Einschränkung ist leicht zu erkennen, dass auch die anderen Axiome in Def. 10 erfüllt
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007