Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

10.1. MOTIVATION 369
• den Gauß’schen und Stokes’schen Integralsatz zu erläutern und auf physikalische Probleme
anzuwenden, insbesondere die Überführung der Maxwell’schen Gleichungen von der
differentiellen auf die Integralform.
Querverbindung 11 Bevor Sie mit dem Durcharbeiten des Kapitels beginnen: Rekapitulieren
Sie die Grundlagen der Darstellung von Vektorfeldern und die speziellen Felder in
Abschn. 4.4.3 ebenso wie den Nabla Operator in Abschn. 4.4.1.
10.1 Motivation
§ 1376 Mathematisch gesehen ist ein Feld eine Funktion mehrerer Variablen: der Ortsvariablen
⃗r, in der Regel ein Vektor im 3D, sowie der Zeit. Wie bereits in Abschn. 4.4.3 diskutiert,
kann diese Funktion eine skalare Funktion sein oder eine vektorwertige. Beispiele für skalare
Felder sind Temperatur-, Dichte- oder Druckfelder; Beispiele für Vektorfelder sind das
elektrische und magnetische Feld, das Gravitationsfeld oder das Geschwindigkeitsfeld einer
Strömung.
§ 1377 In einem Feld A(⃗r, t) ändert sich die Größe A mit dem Ort ⃗r oder der Zeit t. Zeitliche
Änderungen werden uns hier nicht interessieren: wir haben Veränderungen sowohl skalarer als
auch vektorwertiger Funktionen mit der Zeit bereits ausführlich in Kap. 4 und 5 diskutiert,
so dass wir die mathematischen Techniken und die Interpretation bereits beherrschen.
§ 1378 Anders sieht es dagegen mit der räumlichen Variation eines Feldes aus. Für ein Skalarfeld
haben wir diese bereits in Abschn. 4.4.3 betrachtet: die Ableitungen des Feldes nach
den einzelnen Raumkoordinaten werden in einem Vektor zum Gradienten kombiniert. Dieser
gibt für jeden Punkt des Feldes Richtung und Betrag der stärksten Steigung, d.h. der Gradient
beschreibt die Veränderung des Feldes mit dem Ort. Eine Ausgleichsbewegung erfolgt entgegen
dem Gradienten: im Gravitationsfeld weist die Falllinie in die dem Gradienten entgegen
gesetzte Richtung, im Temperaturfeld fließt der Wärmestrom entgegen dem Temperaturgradienten
und die Tinte in einem Stausee fließt entgegen ihrem Konzentrationsgradienten.
§ 1379 Wenn Sie den letzten Satz aufmerksam gelesen haben, dürfte Ihnen ein Fehler aufgefallen
sein: es wird vom Gradienten im Gravitationsfeld gesprochen. Diese Formulierung
ist unsauber. Das Gravitationsfeld ist ein Vektorfeld und für dieses ist ein Gradient nicht
definiert. Stattdessen ist das Gravitationsfeld selbst, wie bereits in Abschn. 4.4.3 eingeführt,
der Gradient eines skalaren Feldes, des Gravitationspotentials.
§ 1380 Wie sieht es allgemein für ein Vektorfeld aus? Lässt sich der Begriff des Gradienten
direkt übertragen? Jein. Für ein Vektorfeld wie z.B. das elektrische Feld einer Punktladung
ist der Gradient nicht definiert. Zwar kann man für den Betrag eines Vektorfeldes formal
ebenfalls einen Gradienten bestimmen, jedoch ist bei dessen Interpretation Vorsicht geboten.
Der Gradient des Betrages des Feldes gibt wieder die Richtung und Stärke der größten Steigung
an. Jedoch hat diese Größe keine physikalische Bedeutung: die Bewegung einer Ladung
im elektrischen Feld ist nicht durch den Gradienten des Feldes bestimmt sondern durch das
Feld selbst: ⃗ E gibt die Kraft pro Ladung an, die auf eine Probeladung im elektrischen Feld
wirkt und ⃗ E ist im Normalfall mit ∇ | ⃗ E| identisch. Allerdings lässt sich das elektrische Feld
⃗E einer Ladungsverteilung selbst wieder als der Gradient eines skalaren Feldes betrachten,
nämlich des elektrostatischen Potentials. Und wie sieht es jetzt mit der Falllinie aus? Diese ist
einem Gradienten entgegengesetzt, aber dem in der potentiellen Energie (bzw. im Potential)
und nicht einem Gradienten im Betrag des Gravitationsfeldes.
§ 1381 Auch wenn er nicht den Gradienten liefert, so kann der Nabla Operator trotzdem auf
ein Vektorfeld angewandt werden – und damit auch auf ein Gradientenfeler das Gravitationsfeld.
Da der Nabla Operator seiner Form nach ein Vektor ist, stehen für eine Multiplikation
mit einem Vektorfeld zwei Formen zur Verfügung: das Skalarprodukt und das Vektorprodukt.
Beide Operationen können nicht nur formal ausgeführt werden sondern haben auch
ihre jeweilige physikalische Bedeutung.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007