Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

4.4. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLEN 145
Richtungsableitung
§ 577 Die Komponenten des Gradienten werden aus den Ableitungen des Feldes in Richtung
der entsprechenden Koordinate gebildet. Sie beschreiben also Steigungen in Richtung der
entsprechenden Koordinate, formal lassen sie sich als Skalarprodukt aus dem Gradienten
und den Einheitsvektoren in Richtung der entsprechenden Koordinaten bilden, siehe auch
§ 116. Die durch das Skalarprodukt bewirkte Projektion ist nicht auf die Einheitsvektoren
entlang der Koordinatenachsen beschränkt sondern kann in eine beliebige Richtung erfolgen.
Daher lässt sich aus dem Gradienten eine Ableitung in eine beliebige Richtung ⃗a bilden:
Definition 48 Die Richtungsableitung ∂A/∂⃗a eines Skalarfeldes A in der Richtung ⃗a gibt
die Änderung von A in Richtung ⃗a:
∂A
∂⃗a = ∇A · ⃗e a = 1 ∇A · ⃗a . (4.9)
|⃗a|
§ 578 Man erhält die Richtungsableitung durch Projektion (1.10) des Gradienten von A auf
den normierten Richtungsvektor ⃗e a = ⃗a/|a|. Die Richtungsableitung nimmt ihren größten
Wert in Richtung des Gradienten an, da in diesem Fall wegen α = 0 das Skalarprodukt
maximal wird.
Zwischenrechnung 16 Überzeugen Sie sich von diesem Verfahren an einem trivialen Beispiel:
bilden Sie die Richtungsableitungen in Richtung der Einheitsvektoren für das Tal aus
§ 448.
4.4.4 Totales und partielles Differential
§ 579 Analog zum Differential lässt sich ein partielles Differential einführen:
∂ x f(x, y) =
∂f(x, y)
∂x
dx und ∂ y f(x, y) =
∂f(x, y)
∂y
Das partielle Differential beschreibt die Änderung des Funktionswerts beim Fortschreiten in
Richtung der Variablen, nach der abgeleitet wird.
§ 580 Das totale Differential ist die Summe der partiellen Differentiale, da sich eine Änderung
in f aus den Änderungen in jeder Variablen zusammensetzt:
df(x, y) = ∂f ∂f
dx +
∂x ∂y dy = f x dx + f y dy . (4.10)
§ 581 Das totale Differential lässt sich mit Hilfe der Kettenregel herleiten. Dazu nehmen
wir an, dass die Variablen x und y jeweils von einem Parameter t abhängen. Dann kann die
Funktion f(x(t), y(t)) auch als Funktion u(t) verstanden werden. Für deren Ableitung gilt
die Kettenregel der partiellen Differentiation
dy .
df
dt = du
dt = ∂u dx
∂x dt + ∂u dy
∂y dt = u dx
x
dt + u dy
y
dt = f dx
x
dt + f dy
y
dt .
Für t = x erhalten wir das totale Differential von u bezogen auf x
du
dx = ∂u
∂x + ∂u dy
∂y dt .
§ 582 Untersuchen wir nun die zeitliche Änderung einer Größe ε in einem kontinuierlichen
Medium. Betrachten wir z.B. die Lufttemperatur mit einem stationären Thermometer, so
ändert sich diese durch die Erwärmung oder Abkühlung mit dem Tagesgang. Diese ortsfeste
Betrachtungsweise wird als Euler’sche Betrachtungsweise bezeichnet. Hängt das Thermometer
dagegen an einem Wetterballon, so wird es mit dem Wind verfrachtet und misst die
Änderung in einem mit dem Feld mitbewegten System. Dies ist die Lagrange’sche Betrachtungsweise.
Wir wenden diese Beschreibung an, wenn wir die Bewegung eines Teilchens in
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007