Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

Kapitel 2
Folgen und Reihen
To see a world in a grain of sand
and a heaven in a wild flower
hold infinity in the palm of your hand
And eternity in an hour.
William Blake
§ 200 Einer der zentralen Begriffe in der Analysis ist der Grenzwert. Dieser betrifft die Konvergenz
von Folgen oder Reihen ebenso wie das Differenzieren und Integrieren: beide beinhalteten
einen Grenzübergang ∆x → 0. In diesem Kapitel soll einerseits eine Arbeitsdefinition
für den Grenzwert gegeben werden, auf die wir in den folgenden Kapiteln zurück greifen
können. Andererseits soll aufbauend auf dem Konzept der Reihe die Taylor Entwicklung von
Funktionen eingeführt werden. Diese ist in der Mathematik und Physik ein unentbehrliches
Hilfsmittel, daher wird sie an dieser Stelle bereits vor der formalen Einführung von Funktionen
und Differentiation vorgestellt. Zwar werden Funktionen und Differentiation erst in
Kap. 3 und 4 eingeführt, die Vorgriffe in diesem Kapitel benötigen jedoch nur ein elementares
Schulverständnis von beiden. Als Einstieg in das Thema bemühen wir ausnahmsweise nicht
Achilles und die Schildkröte sondern ein anderes Paradoxon von Zeno.
§ 201 Qualifikationsziele: nach Durcharbeiten dieses Kapitels sollen Sie in der Lage sein
• den Begriff der Konvergenz mathematisch sauber zu erklären,
• Reihen mit Hilfe verschiedener Verfahren auf Konvergenz zu überprüfen,
• eine Potenzreihenentwicklung für verschiedenen Funktionen vorzunehmen.
2.1 Motivation
§ 202 Ein Pfeil wird auf ein stationäres Ziel im Abstand l geschossen. 1 Er kann dieses Ziel
niemals treffen, denn zuerst muss der Pfeil die Hälfte l/2 des Weges zurücklegen. Dann
muss er vom verbleibenden Weg l/2 ebenfalls zuerst die Hälfte zurück legen, also l/4. Vom
verbleibenden Viertel wird wieder zuerst die Hälfte zurück gelegt, usw. Der Pfeil kann sein
1 Wenn Sie unbedingt Achilles und die Schildkröte bemühen wollen, lassen Sie die Schildkröte einfach in
dem Punkt sitzen, von dem aus sie starten sollte. Oder lassen Sie die Schildkröte loszuckeln und verwenden
Sie Zeno’s Pfeil um zu zeigen, dass Achilles nicht einmal bis zu dem Punkt kommt, der der Schildkröte als
Vorsprung eingeräumt war. Wenn er den nicht erreicht, holt er die Schildkröte erst recht nicht ein.
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