Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

422 KAPITEL 11. PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
§ 1565 Die sphärischen Harmonischen sind die Eigenfunktionen des Laplace-Operators auf
der Kugel, d.h. es gilt
∇ 2 KY nm (ϑ, ϕ) = −n(n + 1)Y nm (ϑ, ϕ) mit ∇ 2 K = 1 ∂
sin ϑ ∂ϑ + 1
sin 2 ϑ
∂ 2
∂ 2 ϕ .
Dieser Zusammenhang erlaubt es, den Laplace-Operator durch eine einfache Multiplikation
mit −n(n + 1) zu ersetzen. Dies ist für viele Anwendungen, insbesondere in den Geowissenschaften,
nützlich.
11.4 Laplace Gleichung
§ 1566 Die Laplace Gleichung ist die Grundgleichung der Potentialtheorie. Sie enthält keine
zeitliche Ableitung, d.h. sie beschreibt stationäre Felder. Die Poisson Gleichung unterscheidet
sich von der Laplace Gleichung durch eine Inhomogenität.
§ 1567 Die Laplace Gleichung ∇ 2 U = 0 wird verwendet u.a. zur Beschreibung des elektrostatischen
Potentials im ladungsfreien Raum, zur Beschreibung des Gravitationspotentials
im freien Raum, zur Beschreibung des Potentials einer Strömung in inkompressiblen Medien
und zur Beschreibung stationärer Temperaturfelder. Die Gradienten dieser Potentiale geben
das elektrische Feld, das Gravitationsfeld, das Strömungsfeld bzw. den Wärmestrom.
11.4.1 Stationärer Wärmestrom
§ 1568 Wie die Wellengleichung lässt sich auch die Laplace Gleichung sich durch einen Separationsansatz
lösen. Betrachten wir die Temperaturverteilung in einer rechteckigen Platte
mit den Kanten a und b. Die Laplace-Gleichung ist
∂ 2 T
∂x 2 + ∂2 T
= 0 für 0 < x < a und 0 < y < b . (11.28)
∂y2 Als Randbedingung sei die Temperatur an drei Kanten der Platte Null und an der vierten
Kante durch eine Funktion f(x) vorgegeben:
T (x, 0) = T (0, y) = T (a, y) = 0 und T (x, b) = f(x) .
§ 1569 Zur Lösung der Laplace Gleichung (11.28) machen wir den Separationsansatz T (x, y) =
X(x) Y (y) und erhalten mit der Separationskonstanten −β 2 die beiden gewöhnlichen Differentialgleichungen
X ′′ + β 2 X = 0 und Y ′′ − β 2 Y = 0 .
Diese haben die allgemeinen Lösungen
( nπx
) ( nπx
)
X n (x) = γ 1 sin + γ 2 cos , n = 1, 2, . . . , und
( a
a
nπy
) ( nπy
)
Y n (y) = γ 3 sinh + γ 4 cosh , n = 1, 2, . . . .
a
a
Berücksichtigung der Randbedingungen mit T = 0 ergibt γ 2 = γ 4 = 0 und damit als eine
Lösung
( nπx
) ( nπy
)
T n (x, y) = γ n sin sinh , n = 1, 2, . . . .
a a
Verständnisfrage 29 Die Wahl der Separationskonstanten als −β 2 ist willkürlich. Die Wahl
von β 2 wäre ebenfalls möglich gewesen. Überlegen Sie, welche Konsequenzen diese Wahl für
die Lösung hätte.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode