Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

2.3. REIHEN 57
für die Folge (a n ) der natürlichen Zahlen und die natürliche Reihe (s n ). Beide Sequenzen
können auch rekursiv definiert werden:
n∑
a n+1 = a n + 1 und s n+1 = s n + (n + 1) = k + (n + 1) .
Der entscheidende Unterschied ist das Auftreten des Summenzeichens in der Reihe, d.h. der
Unterschied zwischen Folgen und Reihen liegt eigentlich nur in diesem Detail des Bildungsgesetzes.
Mathematisch ist dieses Detail aber nicht unerheblich: eine Nullfolge ist leicht zu
erkennen, bei einer Reihe dagegen ist die Beurteilung bezüglich Konvergenz schwieriger, da
in jedem Fall zum vorangegangenen Wert etwas addiert (oder subtrahiert) wird – und das
gegebenenfalls unendlich oft.
2.3.1 Konvergenz
§ 234 Reihen werden, ebenso wie Folgen, durch Monotonie, Beschränkheit und Konvergenz
charakterisiert. Der einzige Unterschied besteht darin, dass nicht die einzelnen Glieder a n
der Folge untersucht werden, sondern jeweils die Partialsummen s n . Konvergenz einer Reihe
wird in Analogie zu Def. 19 wie folgt definiert:
Definition 21 Eine Folge von Partialsummen s n = ∑ n
m=1 a m konvergiert für n → ∞ gegen
S genau dann, wenn es für jedes ε > 0 ein n ε ∈ N gibt derart, dass |s n < S| < ε für alle
n > n ε . Die Reihe konvergiert dann gegen
∞∑
S = a n .
n=1
§ 235 Die Definition besagt, dass sich für n > n ε die Partialsumme s n+1 kaum noch (oder
genauer gesagt nur noch um ein beliebig kleines ε) von s n unterscheiden darf. Dass kann nur
dann der Fall sein, wenn (a n ) eine Nullfolge ist, d.h. (a n ) ist Nullfolge ist zumindest eine
notwendige Bedingung für Konvergenz. Ist dagegen a n keine Nullfolge, so ist die Reihe s n in
jedem Fall divergent, selbst wenn die Folge a n konvergent ist.
k=1
Zwischenrechnung 5 Konstruieren Sie ein einfaches Beispiel.
§ 236 Definition 21 kann, entsprechend dem Cauchy Kriterium, umformuliert werden, so
dass nicht mehr die n te Partialsumme mit dem Grenzwert vergleichen wird sondern mit einer
m ten Partialsumme, wobei n, m > n ε .
§ 237 Aus den bereits aus § 211 bekannten Folgen können wir die folgenden Reihen bilden:
• für die Folge der natürlichen Zahlen erhalten wir eine Reihe, die mit den Gliedern 1, 3,
6, 10, 15, 21 beginnt. Diese Reihe ist offenbar divergent. Dazu wäre es nicht notwendig
gewesen, sich die ersten Terme explizit anzusehen, da bereits die zugehörige Folge der
natürlichen Zahlen divergent ist.
• aus der harmonischen Folge lässt sich die harmonische Reihe
s n =
n∑
m=1
1
m
Obwohl die zu Grunde liegende harmonische Folge eine Nullfolge ist, ist die harmonische
Reihe divergent.
• aus der alternierenden Folge ergibt sich eine alternierende Reihe, die abwechselnd die Werte
1 und 0 annimmt. Diese Reihe konvergiert nicht.
• das Produkt aus harmonischer und alternierender Folge führt auf eine Reihe der Form
n∑ (−1) m+1
s n =
.
m
m=1
Diese alternierend harmonische Reihe konvergiert gegen ln 2 (Spezialfall der Reihe in § 387).
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007