Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

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INHALTSVERZEICHNIS
Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
8.2.5 Reguläre und orthogonale Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
8.2.6 Inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
8.2.7 Komplexe Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
8.2.8 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
8.3 Mathematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
8.3.1 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
8.3.2 Eindeutigkeit und Inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
8.3.3 Eigenwerte und -vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
Symmetrische Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
Matrizen und Projektionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
Eigenvektoren und Projektionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
8.3.4 Eigenvektoren und inverse Matrix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
8.3.5 Hauptachsentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
8.3.6 Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
8.4 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
8.4.1 Zum Aufwärmen: lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . 332
8.4.2 Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
Euler Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
Transformation auf krummlinige Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . 337
Lorentz Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
8.4.3 Trägheitstensor und Hauptachsentransformation . . . . . . . . . . . . 339
Trägheitstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
Hauptachsentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
8.4.4 Systeme gekoppelter Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 342
Radioaktiver Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
Gekoppelte Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
8.5 Deep Blue legt Hand an: Matrizen und Roboter . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
8.6 Matrizen in MatLab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
9 Verallgemeinerte Funktionen 352
9.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
9.2 Die Dirac’sche Delta Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
9.2.1 Annäherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
9.2.2 Eindimensionale Delta Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
9.2.3 Eigenschaften der Delta Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
9.2.4 Delta Funktion einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
9.2.5 Differenzieren und Integrieren: Heavyside-Funktion . . . . . . . . . . . 359
9.2.6 Ladungsdichteverteilung als physikalisches Beispiel . . . . . . . . . . . 360
9.2.7 Delta Funktion in drei Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
9.3 Gamma Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
9.4 Error Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
9.5 Mathematische Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
9.6 Verallgemeinerte Funktionen in MatLab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
10 Vektoranalysis 368
10.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
10.2 Differentiation: Divergenz und Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
10.2.1 Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
Divergenz in krummlinigen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
Typische Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
10.2.2 Laplace Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
10.2.3 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode